schwere Exponentialgleichung lösen

01.03.2011, 18:48

Tivish

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schwere Exponentialgleichung lösen

Meine Frage:
Hi Leute, hab folgendes Problem vor mir. Die Lösung dieser Gleichung soll ohne Taschenrechner abgeleitet werden. Also nach x auflösen.

(7^5x+7)^1/7x =(5^7x+5)^1/5x

Meine Ideen:
Nun meine Ansätze...

Erst mal hab ich versucht die Klammern weg zu bekommen:

7^5/7+1/x = 5^7/5+1/x

dann Potenzgesetz angewendet:

7^5/7 * 7^1/x = 5^7/5 * 5^1/x ab hier ist dann Endstation für mich.Ich weiß nicht wie ich hier weiter vorgehen soll um dann logarithmieren zu können. Hoffe ihr könnt mir helfen.

lg Tivish

01.03.2011, 19:23

mYthos

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Das "Klammern wegbekommen" ist gänzlich missglückt, weil du die entsprechenden Rechengesetze sträflich missachtet hast. Und schon die Angabe ist nicht eindeutig! Bitte setze dort die entsprechenden Klammern, sodass überhaupt ersichtlich ist, wie die Terme richtig lauten sollen.

mY+

01.03.2011, 20:18

Tivish

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Ich benutz mal den Formeleditor, damit wirds wahrscheinlich übersichtlicher smile

smile

$\begin{eqnarray*} <br /> (7^{5x+7})^\frac{1}{7x}= (5^{7x+5})^\frac{1}{5x} <br /> <br /> \Rightarrow 7^{\frac{5x+7}{7x} } = 5^{\frac{7x+5}{5x} } <br /> <br /> \Rightarrow 7^{\frac{5}{7}+\frac{1}{x} } = 5^{\frac{7}{5}+\frac{1}{x} } <br /> <br /> \Rightarrow 7^{\frac{5}{7} }*7^{\frac{1}{x} } = 5^{\frac{7}{5} }*5^{\frac{1}{x} } \end{eqnarray*}$

Das sind jetzt die einzelnen Schritte, die ich gemacht hab. Ab da brauch ich Hilfe. Natürlich, falls mein Ansatz überhaupt richtig sein sollte.

Lg Tivish

01.03.2011, 21:35

mYthos

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Sehr schön, so sieht's doch gleich viel besser aus.
Also war die Angabe anfangs missverstanden worden.

Ja, und gerechnet hast du alles bis jetzt richtig und auch recht listig!
Jetzt könntest du 1/x substituieren und die Gleichung logarithmieren ...

mY+

01.03.2011, 21:55

Tivish

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Danke für die Antwort smile

smile

Ich hab mal weiter gemacht und bin dann auf folgendes gekommen:

$\begin{eqnarray*} \frac{5^{\frac{1}{x} } }{7^{\frac{1}{x} } } = \frac{5^{\frac{7}{5} } }{7^{\frac{5}{7} } } \Rightarrow \frac{1}{x}ln\left(\frac{5}{7} \right) =ln5^{\frac{7}{5} }-ln7^{\frac{5}{7} } \end{eqnarray*}$

Kann ich so weiter rechnen?

Wie mach ich das jetzt genau mit dem 1/x

01.03.2011, 22:06

mYthos

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Du musst nicht substituieren, dies wäre zwar eine Möglichkeit, aber du kannst selbstverständlich x gleich direkt berechnen. Du kannst weiterrechnen, bedenke, dass

$\begin{eqnarray*} \ln 5^{\frac 7 5} = \frac 7 5 \cdot \ln 5 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \ldots \end{eqnarray*}$

usw.

mY+

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01.03.2011, 22:20

Tivish

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also dass müsste dann so aussehen: $\begin{eqnarray*} \Rightarrow \frac{1}{x}ln\left(\frac{5}{7} \right) =ln5^{\frac{7}{5} }-ln7^{\frac{5}{7} } \Rightarrow \frac{1}{x}ln\left(\frac{5}{7} \right)= \frac{7ln5}{5}-\frac{5ln7}{7} \end{eqnarray*}$

dann teile ich durch $\begin{eqnarray*} ln\left(\frac{5}{7} \right) \end{eqnarray*}$ und erhalte:
$\begin{eqnarray*} \frac{1}{x} = \frac{7ln5}{5ln\left(\frac{5}{7} \right) }-\frac{5ln7}{7ln\left(\frac{5}{7}\right) } \end{eqnarray*}$

stimmt das soweit?

01.03.2011, 22:33

mYthos

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So gut du anfangs gerechnet hast, wird's jetzt etwas umständlich. Aber es stimmt (noch) Big Laugh

Big Laugh

.

mY+

01.03.2011, 22:33

Tivish

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und dann nach x aufgelöst

$\begin{eqnarray*} \frac{1}{\frac{7ln5}{5ln\left(\frac{5}{7} \right) }-\frac{5ln7}{7ln\left(\frac{5}{7}\right) }} = x \end{eqnarray*}$

hehe ja stimmt, ich schiebs mal auf die Uhrzeit smile

smile

01.03.2011, 22:43

mYthos

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Was hast du? [x = 0,38976 bei mir, o.G.]

mY+

01.03.2011, 22:52

Tivish

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ich habe da $\begin{eqnarray*} x= -0.389761479 \end{eqnarray*}$ raus

01.03.2011, 23:02

mYthos

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Da hast du irgendwo einen Vorzeichenfehler!

mY+

01.03.2011, 23:09

Tivish

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für den unteren Term kommt bei mir $\begin{eqnarray*} \frac{1}{- 2.565671585} = x \end{eqnarray*}$ raus.

Ich blick grad nicht durch wo der fehler liegt.

01.03.2011, 23:25

mYthos

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Ich hab' deinen Fehler! Leider wurde der vorher übersehen und dann in die weitere Rechnung mitgeschleppt!

Teufel

Teufel

!

Zitat:

Original von Tivish
... und bin dann auf folgendes gekommen:

$\begin{eqnarray*} \frac{5^{\frac{1}{x} } }{7^{\frac{1}{x} } } = \frac{5^{\frac{7}{5} } }{7^{\frac{5}{7} } }... \end{eqnarray*}$
...

Der rechte Bruch gehört umgedreht! Oder von mir aus auch der linke, aber nur einer! Big Laugh

Big Laugh

Das wirkt sich dann beim Logaritmieren nur auf das Vorzeichen aus!

Davor stand noch richtig:

$\begin{eqnarray*} \Rightarrow 7^{\frac{5}{7} }*7^{\frac{1}{x} } = 5^{\frac{7}{5} }*5^{\frac{1}{x} } \end{eqnarray*}$

mY+

01.03.2011, 23:43

Tivish

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ah ok, ich seh es jetzt smile

smile

kleine Konzentrationsschwäche am Anfang. Vielen Dank für die Hilfestellung. Hab hier noch ein paar knifflige Aufgaben vor mir, die mir Schwierigkeiten bereiten könnten. Mal schauen wie weit ich die lösen kann Augenzwinkern

Augenzwinkern

02.03.2011, 00:23

Tivish

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Hab das jetzt mal überarbeitet:

Die rechte Seite auf einen Nenner gebracht

$\begin{eqnarray*} \frac{1}{x}*ln\frac{5}{7}=\frac{5*ln7*5}{7*5}-\frac{7*ln5*7}{5*7} \end{eqnarray*}$

Links Logarithmusgesetz angewendet und x nach rechts gebracht

$\begin{eqnarray*} \Rightarrow ln5-ln7= \frac{25*ln7-49*ln5}{35}*x \end{eqnarray*}$

Und nach x aufgelöst wäre das dann die Lösung

$\begin{eqnarray*} \Rightarrow \frac{ln5-ln7}{25*ln7-49*ln5}*35 =x \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \Rightarrow 0.38976=x \end{eqnarray*}$

so sieht das ganze doch schon viel besser aus Augenzwinkern

Augenzwinkern

02.03.2011, 00:31

mYthos

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Tatsächlich. So hatte ich mir das auch von Anfang an vorgestellt.
Sehr brav, setzen! Lehrer

Lehrer

Jetzt darfst beruhigt schlafen gehen. Gute Nacht.

mY+

02.03.2011, 00:53

Tivish

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Gute Nacht Freude

Freude

1

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