Abgeschlossene Mengen

01.03.2011, 22:46

Leo1234

Abgeschlossene Mengen

Guten Abend miteinander!

Ich hätte eine Frage: Kann man die folgende abgeschlossene Teilmenge des IR^n zeichnen? (Wie sähe sie aus?)
$\begin{eqnarray*} \left\{(x_1, ..., x_n) \in \mathbb R^n | \sum\limits_{i=1}^n \abs(x_i - c_i) \leq 1\right\} \end{eqnarray*}$ (c aus IR^n)

Liebe Grüsse,
Leo

01.03.2011, 22:48

Leo1234

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RE: Abgeschlossene Mengen
$\begin{eqnarray*} \left \{(x_1, ..., x_n) \in \mathbb R^n | \sum \limits_{i=1}^n |(x_i - c_i)| \leq 1\right \} \end{eqnarray*}$

01.03.2011, 23:04

zweiundvierzig

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Wie sähe die Menge denn in $\begin{eqnarray*} \mathbb R^2 \end{eqnarray*}$ oder $\begin{eqnarray*} \mathbb R^3 \end{eqnarray*}$ aus für $\begin{eqnarray*} c = (c_1, \ldots, c_n) = 0 \end{eqnarray*}$ ?

01.03.2011, 23:12

Leo1234

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Ah, wenn ich mir das recht überlege, so kann das alles sein.
Sprich: Die Menge wäre dann aber offen, und eben: ZB auf einem Koordinatensystem (IR^2) alle vier Quadranten.

01.03.2011, 23:36

zweiundvierzig

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Naja, alle vier Quadranten in $\begin{eqnarray*} \mathbb R^2 \end{eqnarray*}$ wären schon ganz $\begin{eqnarray*} \mathbb R^2 \end{eqnarray*}$ . Aber die Definition der Menge liefert ja schon eine Einschränkung, bei der man gut sieht, dass das nicht möglich ist.

Im übrigen ist die resultierende Menge auch nicht offen.

Aber mal schrittweise: Sei $\begin{eqnarray*} A_0 := \{ (x,y) \colon |x| + |y| \leq 1 \} \end{eqnarray*}$ . Was bedeutet die definierende Aussage prosaisch ausgeschrieben?

Welche Punkte erhält man im z.B. Bereich $\begin{eqnarray*} A_0 \cap ([0, \infty) \times [0, \infty)) \end{eqnarray*}$ ? (Hinweis: Fixiere mal $\begin{eqnarray*} |x| = x \end{eqnarray*}$ und schau, welcher Bereich dann nur noch für $\begin{eqnarray*} y \end{eqnarray*}$ möglich ist.)

01.03.2011, 23:48

Leo1234

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A_0 ist einfach der Einheitskreis (inkl. Rand).
Und A_0 geschnitten mit ([0, oo) x [0, oo)) ist der rechte Halbkreis (ebenfalls inkl. Rand).

02.03.2011, 00:08

zweiundvierzig

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Nein, es ist kein Kreis.

Betrachte mal die Menge der Punkte $\begin{eqnarray*} (x,y) \in [0,\infty) \times [0,\infty) \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} x + y = 1 \end{eqnarray*}$ . Wie sieht diese Menge geometrisch aus?

02.03.2011, 00:20

Leo1234

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Ahh..was hab' ich studiert? :P
Es ist die Strecke mit Steigung -1 von (0,1) bis (1,0).

02.03.2011, 00:35

zweiundvierzig

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Genau.

Jetzt kannst Du überlegen, was mit den übrigen Punkten in diesem und den anderen Quadranten passiert.

02.03.2011, 00:44

Leo1234

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In diesem Fall ist es nun relativ klar: Unsere Menge ist abgeschlossen, da das Komplement (also der Rest) offen ist.

Mir ist aber noch nicht ganz klar, wie $\begin{eqnarray*} A(c) = \left \{(x_1, ..., x_n) \in \mathbb R^n | \sum \limits_{i=1}^n |(x_i - c_i)| \leq 1\right \} \end{eqnarray*}$ aussehen soll. Das ist doch wesentlich von c abhängig, nicht?

02.03.2011, 00:54

zweiundvierzig

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Zitat:

Original von Leo1234
In diesem Fall ist es nun relativ klar: Unsere Menge ist abgeschlossen, da das Komplement (also der Rest) offen ist.

Ja, wobei man es auch so sehen kann, dass der "innere" Teil der entstehenden Figur offen ist, aber insgesamt eben noch der Rand dazugenommen wurde, der durch zusammennehmen aller Berandungsstrecken entsteht.

Zitat:

Original von Leo1234
Mir ist aber noch nicht ganz klar, wie $\begin{eqnarray*} A(c) = \left \{(x_1, ..., x_n) \in \mathbb R^n | \sum \limits_{i=1}^n |(x_i - c_i)| \leq 1\right \} \end{eqnarray*}$ aussehen soll. Das ist doch wesentlich von c abhängig, nicht?

Das hängt in einem bestimmten Sinne von $\begin{eqnarray*} c \end{eqnarray*}$ ab, aber das Wesentliche sieht man, wenn man sich auf den Nullpunkt einschränkt.

Mal zur Anschauung: Kreise kennst Du ja schon. In der Vorlesung solltet Ihr gesagt haben, dass man einen vollen Einheitskreis beschreiben kann als alle Punkte, die vom Mittelpunkt höchstens Abstand 1 in der euklidischen Norm (2-Norm) haben.

Das hat Ähnlichkeit mit der vorliegenden Konstruktion, allerdings haben wir es mit einer anderen Norm zu tun.

02.03.2011, 01:06

Leo1234

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Hm. Ist das anschaulich nich alles, was unter y=1 und über y=-1 liegt?

02.03.2011, 01:31

zweiundvierzig

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Naja, nicht alles.

Guck Dir am besten meine obigen Hinweise nochmal an.

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