Volumen eines Würfels mal anders... |
| 02.03.2011, 00:16 | Strategik | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
| Volumen eines Würfels mal anders... ich schraube privat an einem Projekt herum. Dabei habe ich einen Fehler in meiner Berechnung, aber verstehe nicht wo 
Vielleicht könnte mir hier jemand behilflich sein und mir erklären, warum das so ist.Und zwar habe ich ganz einfach einen Würfel mit der Kantenlänge 40. Pi mal Daumen hat er also ein Volumen von 64k. Soweit so gut. Wenn ich das Volumen aber anders berechne, komme ich nicht mehr auf diese Zahl. !!!?? Und zwar tue ich das so: - Ich kippe den Würfel so um, dass er auf einer Ecke steht, während die gegenüberliegender Ecke sich im Lot (also genau über der unteren Ecke) befindet. - Nun ergibt sich folgendes Szenario: Man kann den Würfel in 3 Körper wagerecht teilen: 2 Pyramiden (unten die eine steht auf ihrer Spitze und oben zeigt die andere gerade nach oben mit ihrer Spize), sowie einen Körper dazwischen, einem Oktaeder-ähnlichem Körper, dessen Höhe \sqrt{6} kleiner ist, als eines echten Oktaeders. Diese Zahl ist aber erstmal nicht weiter interessant. Machen wir weiter: - Die Höhen der beiden Pyramiden als auch des Oktaeders sind bekannt: sie sind nämlich alle gleich (ergibt sich einfach so, sieht man auch, wenn man es sich hinzeichnet, also dass es nicht anders sein kann). Damit lässt sich auch jede Höhe berechnen, sie ist nämlich einfach drittel der Diagonale des Würfels. Rechnerisch ist sie damit 23.09401 lang. - Die Kantenlängen der beiden Pyramiden sind auch klar, denn sie sind Diagonale einer Seitenfläche des Würfels: Damit ergibt sich pro Pyramide ein Volumen = 10666.666312. - Die beiden Flächen des Körpers in der Mitte sind auch klar: die Pyramiden haben gleichschenklige Dreiecke mit bekannter Seitenlänge. Eine Fläche misst also: 1385.6406555175781 Sooooooo... Nun können wir uns dem Volumen des mittleren Körpers zuwenden: 64k sind im Würfel drin, davon die beiden Pyramiden abgezogen bleiben 42666.667375732... übrig. Das muss also das Volumen des Körpers in der Mitte sein. Wären beide Flächen, die ihn ausmachen, nicht gegeneinander verdreht, so würde man auf ein Volumen: 1385.6406555175781 * 23.09401 = 31999.999154929503817181 kommen. Durch das Verdrehen muss also das Volumen um ganze 33% steigen. Ich frage mich nun warum
Wenn ich mir meinen Würfel hier nehme und ihn verdrehe, sehe ich nicht, wo das Volumen bleibt. Sind das wirklich 33%? Und noch was: Wie kann ich das Volumen des mittleren Körpers berechnen, wenn ich nur den Flächeninhalt der beiden begrenzenden Flächen und ihren Abstand zueinander kenne, nicht aber ihre Topologie? Geht sowas überhaupt? Denn wenn es beides Kreise sind, spielt die Verdrehung keine Rolle. In meinem Beispiel da oben scheint sie jedoch ne Rolle zu spielen. Daraus schließe ich: die Topologie ist wichtig, ergo es gibt keine allgemeine Formel für sowas ^^, außer vielleicht Itterativ (also vielleicht mit nem Integral oder mehreren oder so). Liege ich da richtig? |
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| 02.03.2011, 00:20 | tigerbine | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
| Nur Nachfrage! Wenn möglich, erstelle doch eine Skizze und hänge sie an. Dankeschön. |
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| 02.03.2011, 00:35 | Strategik | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Skizze: [attach]18394[/attach] Ist etwas schwierig zu zeichnen, da die ganzen Linien in 2D alle aufeinander liegen. So z.B. die Linien, die die obere Pyramide unten begrenzen, sie liegen alle auf der oberen roten (rosa!) Linie. Man sieht aber, dass die Linien immer durch die Ecken gehen, daraus lässt sich halt alles andere auf die Längen der Kanten schließen. Und auch erkennt man, dass die Höhen gleich sind. Ich hoffe die Skizze ist ok so, ist jetzt wirklich Freihand gemalt. |
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| 02.03.2011, 00:49 | tigerbine | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Das Volumen eines Würfels ändert sich hier fehlte ein Wort!nicht durch Drehung im Raum. Der Fehler muss also in deiner Berechnung liegen. Ich kann leider deine "Schnittidee" nicht reproduzieren. Da kommt bestimmt noch jemand. 
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| 02.03.2011, 10:38 | abc2011 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Das stimmt so nicht, ist vom Fragesteller aber auch nicht so gemeint. Er stellt sich, so meine ich, ein dreiseitiges Prisma vor, bei dem man das Deckflächendreieck um 60° dreht, das Grundflächendreieck aber belässt. (In der Kristallographie würde man von Antiprismen reden.) Das ergibt tatsächlich eine Volumenvergrösserung. Eine Formel kann man sicher finden, die den n-seitig-regulären Fall des Antiprismas erfasst. Prismen (oben) und Antiprismen (unten): [attach]18399[/attach] [attach]18400[/attach] Nachtrag: Für das Volumen des n-seitig-regulären Antiprismas mit Grundkante k und Höhe h erhält man [attach]18426[/attach]. (Csc = Cosecans = 1/sin.) Sollen alle 4n Kanten gleichlang sein, dann muss die Höhe h so gewählt werden: [attach]18427[/attach]. |
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| 02.03.2011, 11:01 | René Gruber | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Der Mittelkörper ist kein Prisma, auch kein "verdrehtes": Schneide doch mal den Mittelkörper genau in der mittleren Ebene: Da wirst du auf ein regelmäßiges Sechseck (!) stoßen. Auch in den anderen Schnittebenen sind es Sechsecke, nur eben keine regelmäßigen. Dein räumliches Vorstellungsvermögen ist offenbar nicht das beste, und es hat dir hier einen Streich gespielt.
Ganz offenbar nicht. 
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| 02.03.2011, 12:57 | tigerbine | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Und warum sollte das nicht stimmen? 
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| 02.03.2011, 14:16 | abc2011 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Kongruenzabbildungen lassen das Volumen invariant. (Wenn man aber Teile des Körpers dreht und den Körper verformt, ist es anders.) |
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| 02.03.2011, 17:09 | René Gruber | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Zur Volumenberechnung des Nichtprisma-Zwischenkörpers über die Schnittflächen parallel zur Grund- und Deckfläche, sozusagen nach Cavalieri: Grund- und Deckfläche sind gleichseitige Dreiecke der Seitenlänge , dabei sei die Würfelkantenlänge. Die Höhe des Körpers ist . In Höhe (mit ) über der Grundfläche trifft man als Schnittfläche auf ein Sechseck mit sämtlichen Innenwinkeln gleich und abwechselnden Seitenlängen und (beide je dreimal) - das folgende Bild zeigt eine solche Sechseck-Schnittfläche im Parameterfall : [attach]18404[/attach] Dessen Fläche kann man durch eine geeignete Flächendifferenzbildung so berechnen: . Bereits hier sieht man, dass Grund- und Deckfläche kleiner sind als alle anderen Zwischenflächen, deren Maximum die Grundfläche immerhin um 50% übersteigt. Das Volumen des Mittelkörpers ergibt sich anschließend durch Integration , also ganz genau das, was man erwarten konnte, wenn man vom Würfelvolumen zweimal die Tetraederspitzen (Volumen jeweils ) wegschneidet. Letzteres ist natürlich die wesentlich effizientiere Methode, das Volumen zu berechnen - aber warum einfach, wenn es (wie oben gesehen) auch kompliziert geht. 
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| 02.03.2011, 18:44 | Gualtiero | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Als Ergänzung und als Beispiel einer einfachen Lösung: Wenn man die Schnitte mithilfe eines CAD-Systems durchführt, sieht man schnell, dass der besagte mittlere Körper aus zwei kongruenten schiefen Pyramiden besteht mit als Grundfläche und als Höhe. [attach]18411[/attach] |
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| 03.03.2011, 02:46 | tigerbine | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Wo stand, dass er den Körper verformt? |
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| 03.03.2011, 09:32 | abc2011 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Auch wenn du ihn nicht verformst: Das Volumen bleibt sich gleich, wenn man den Körper dreht. |
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| 03.03.2011, 13:35 | tigerbine | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Ich entschuldige mich, ich war der festen Überzeugung ein "nicht" in meinem Satz zu haben. Daher das ständige Nachfragen. |
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| 04.03.2011, 00:15 | Strategik | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Hallo, erstmal einen riesen Respekt an die ganzen Mathematiker hier. Echt genial die Lösungswege zu lesen. Ich habe in meiner Problembeschreibung eine kleine Sache unterschlagen: Da ich erst "klein" anfangen wollte, habe ich natürlich erstmal einen Würfel genommen. Mein echtes aktuelle Problem ist das folgende: - Ich habe 8 Punkte im Raum, sie umschreiben einen Körper: je 4 Punkte werden zu einer der 6 Seiten. Der Körper ist fast konvex: fast deswegen, weil eine Seite durch die Anordnung der Punkte nach "innen" gebogen sein könnte. Da man ja mit einer Ebene nicht beliebige 4 Punkte "erwischen" kann, behelfe ich mir mit dem folgenden Trick: Ich berechne einen Mittelpunkt aus den 4 Punkten und erstelle dann 4 Dreiecke, die sich mit der Spitze in dem Mittelpunkt berühren und jeweils 2 Punkte der Seite verbinden. So habe ich pro Seite also 4 Dreiecke. 4*6=24 Dreiecke bilden nun den Körper. - Nun möchte ich diesen Körper auch noch beliebig drehen, bzw. die Schwerkraft beliebig setzen. - Und zum Schluß möchte ich Wasser einfließen lassen, bzw. ich habe ein bestimmtes Volumen, mit dem ich die Höhe des Wassers in meinem Körper bezüglich der Schwerkraft berechnen will. Ich komme aber zum Schluß, so wie ich das hier lese, dass mein erster Ansatz vermutlich nicht der richtige war/ist. Hmmmm.... das muss doch irgendwie gehen. Vielleicht den Körper in viele kleine Pyramiden teilen, die sich alle mit der Spitze im Mittelpunkt des Körpers treffen und jeweils ein Dreieck als Grundfläche haben (also 24 Pyramiden)... da die sich ja einfach berechnen lassen. Aber dann müsste ich irgendwie die Höhe mitteln wenn ich da in jedes Wasser einfülle... Und ich wüsste nicht, wieviel in jedes eingefüllt werden sollte... auch müsste ich die Pyramiden selbst noch teilen, da die "Grundfläche" fast nie eben wäre, sodnern die Pyramide "irgendwie" im Raum bzg. der Schwerkraft. Eine schwierige Aufgabe. Ich hätte echt am Anfang gedacht, sowas geht viel einfacher.
Naja, ich danke euch für eure Beiträge. Auch wenn ich so erstmal selbst nicht weiterkomme mit meiner Idee, waren sie sehr aufschlußreich und geben mir Ansätze für weiteres Nachdenken. Ich werde erstmal weitergrübeln, wie ich hier zu einer Lösung komme und wenn ich sie habe, poste ich sie für euch
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| 04.03.2011, 10:27 | René Gruber | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Genauso kannst du das Volumen berechnen, wenn dir die Koordinaten der 8 Eckpunkte (sowie daraus abgeleiteten 6 zusätzlichen Eckpunkte) bekannt sind. Der Bezugspunkt, wo sich all diese Pyramidenspitzen treffen, muss übrigens nicht der Körpermittelpunkt (was auch immer das hier ist) sein, es kann ein beliebiger Punkt des Raumes sein, durchaus auch außerhalb des Körpers - man muss dann nur sorgsam mit vorzeichenbehafteten Volumina operieren. Am einfachsten nimmt man als Bezugspunkt schlicht den Nullpunkt (0,0,0).
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| 05.03.2011, 00:52 | Strategik | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Jupp, das ist ne gute Idee, damit kann man sogar relativ leicht das Volumen aller belibiger konvex-ähnlicher Körper berechnen: wenn man ein x-Eck als "Seite" hat, einfach den Mittelpunkt aller Punkte nehmen, dann das x-Eck in x-Dreiecke aufteilen mit dem Mittelpunkt als Treffpunkt aller Dreieckspitzen (eben so wie bei meinen 8 Punkten). Dann den Mittelpunkt des Körpers (ist einfacher als 0,0,0 ^^). Und alle Dreiecke, die den Körper ausmachen, zusammen mit dem Mittelpunkt zu Pyramiden bauen. Taadaaaaa
Was jetzt aber fehlt, ist noch immer die Geschichte mit der Flüssigkeit... |
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| 05.03.2011, 02:08 | René Gruber | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Nein - der Berechnungsaufwand ist mit dem Nullpunkt geringer: Bei gegebenen Eckpunktkoordinaten entfallen so eine ganze Reihe "Differenzbildungen". |
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