Linearisierung

02.03.2011, 11:05

NeuHier20

Linearisierung

Hallo,

ich beschäftige mich gerade mit Nichtlinearer Optimierung, speziell mit der Linearisierung von nichtlinearen Problemen. Ich versteh nicht so recht , was da genau passiert.

$\begin{eqnarray*} \min_{x \in D} f(x) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} <br /> <br /> Nebenbedingung : h_i(x)=0 , i=1,..,m <br /> g_j(x) \le 0, j=1,..,p \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \Leftrightarrow \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \min_{x \in D} f(x) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} Nb : h(x)=0 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} g(x) \le 0, j=1,..,p \end{eqnarray*}$

Jetzt wandelt man das Problem in ein linearisiertes Problem um, um die Theorie von linearen Optimierungsproblemen anwenden zu können.

$\begin{eqnarray*} \min_{x \in \mathbb R^n} f(\overset {\sim}{x})+\nabla f(\overset {\sim}{x})^T(x-\overset {\sim}{x}) \end{eqnarray*}$

Nb. $\begin{eqnarray*} h(\overset {\sim}{x})+h'(\overset {\sim}{x})(x-\overset {\sim}{x})=0 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} g(\overset {\sim}{x})+g'(\overset {\sim}{x})(x-\overset {\sim}{x}) \le <br /> 0 \end{eqnarray*}$

Was passiert da genau bei der Linearisierung?

02.03.2011, 11:37

Helferlein

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Die "krummen" Funktionen werden durch geradere ersetzt.
Im $\begin{eqnarray*} \mathbb R^2 \end{eqnarray*}$ wären das Geraden, im $\begin{eqnarray*} \mathbb R^3 \end{eqnarray*}$ Tangentialebenen usw.

Da diese in der Umgebung um das Optimum hinreichend nahe an der eigentlichen Funktion liegen, sollte das Ergebnis auch entsprechend für das nichtlineare Problem optimal sein.

02.03.2011, 11:51

Ehos

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Man will das Minimum einer "komplizierte" Funktion $\begin{eqnarray*} f(\vec x) \end{eqnarray*}$ berechnen. Um das Problem zu vereinfachen, betrachtet man nicht diese "komplizierte" Funktion $\begin{eqnarray*} f(\vec x) \end{eqnarray*}$ selbst, sondern nur deren Taylorentwicklung bis zur 1.Ordung, welche lautet

$\begin{eqnarray*} f(\vec x_0+\Delta \vec x)=f(\vec x_0)+\nabla f\cdot\Delta \vec x+... \end{eqnarray*}$

Da diese Taylorentwicklung nach dem linearen Glied abgebrochen wird, bezeichnet man diesen Schritt als "Linearisierung" des Problems. Das ist natürlich eine Näherung, die nur für "kleine" Vektoren $\begin{eqnarray*} \Delta \vec x \end{eqnarray*}$ funktioniert.

02.03.2011, 11:56

NeuHier20

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Danke schonmal, smile

ist denn durch diese Umrechnung automatisch gewährleistet, dass diese drei Funktionen nun linear sind?

$\begin{eqnarray*} f(\overset {\sim}{x})+\nabla f(\overset {\sim}{x})^T(x-\overset {\sim}{x}) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} h(\overset {\sim}{x})+h'(\overset {\sim}{x})(x-\overset {\sim}{x}) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} g(\overset {\sim}{x})+g'(\overset {\sim}{x})(x-\overset {\sim}{x}) \end{eqnarray*}$

Zitat:

Da diese in der Umgebung um das Optimum hinreichend nahe an der eigentlichen Funktion liegen, sollte das Ergebnis auch entsprechend für das nichtlineare Problem optimal sein.

Das leuchtet mir noch nicht so richtig ein. Ist das nur eine Annahme, dass $\begin{eqnarray*} \overset {\sim}{x} \end{eqnarray*}$ lokale Lösung des nichtlinearen Problems ist und durch die Linearisierung versucht man dann $\begin{eqnarray*} \overset {\sim}{x} \end{eqnarray*}$ zu bestimmen?

02.03.2011, 12:07

NeuHier20

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Zitat:

ist denn durch diese Umrechnung automatisch gewährleistet, dass diese drei Funktionen nun linear sind?

OMG ,ach ja klar. Es sind ja alles Konstanten, bis auf x. Big Laugh

02.03.2011, 12:10

NeuHier20

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Dann hab ich die Idee dabei nun glaub ich verstanden.

Es geht also darum:

Zitat:

Ist das nur eine Annahme, dass $\begin{eqnarray*} \overset {\sim}{x} \end{eqnarray*}$ lokale Lösung des nichtlinearen Problems ist und durch die Linearisierung versucht man dann $\begin{eqnarray*} \overset {\sim}{x} \end{eqnarray*}$ zu bestimmen?

Richtig?

02.03.2011, 15:32

Helferlein

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Da war ich einen Schritt zu schnell.
Man versucht iterativ verschiedene $\begin{eqnarray*} \overset\sim x \end{eqnarray*}$ zu bestimmen, die dann gegen das Optimum konvergieren. Dabei wird in jedem Schritt ein neues ineares Problem gelöst.

02.03.2011, 17:52

NeuHier20

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Achso, du beschreibst damit wohl ein Vorgehen zur Bestimmung der Optimalwerte. Ok, dabei bin ich im Moment eh noch nicht. Ich beschäftige mich im Moment nur mit der Theorie.

Regularitätsbedingungen, Linearisierungskegel usw.

Danke!

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