Integral außerhalb meines Fähigkeitsbereiches

02.03.2011, 11:13

Nidal

Integral außerhalb meines Fähigkeitsbereiches

Hallo!

Im Rahmen einer universitären Arbeit will die Fläche unter einer Funktion berechnen. Normalerweise wird dies in einem solchen Fall über einer Streifenmethode gemacht, da ich nun aber die tatsächliche Funktion habe, will ich es mathematisch genau durchführen.
Es geht um eine Sigmoidfunktion der Form
$\begin{eqnarray*} P(v)=1/(1+exp(-a*(v-b)))*c \end{eqnarray*}$
Von dieser benötige ich nun das bestimmte Ingetral zu einer variablen Obergrenze v und zur Untergrenze 0.
Die Stammfunktion würde mir natürlich auch reichen smile

Ich hoffe jemand kann das lösen.

Vielen Dank und viele Grüße

Nidal

02.03.2011, 11:26

Ibn Batuta

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RE: Integral außerhalb meines Fähigkeitsbereiches

Zitat:

Original von Nidal
Ich hoffe jemand kann das lösen.

Meine Eltern haben mir keinen neuen Porsche zum Geburtstag geschenkt, obwohl ich mir das gewünscht habe.

Im Ernst. Lösen wird dir das niemand. Beachte: Prinzip "Mathe online verstehen!"

Ibn Batuta

02.03.2011, 11:33

Nidal

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Ja das Problem mit dem Porsche habe ich auch jedes Jahr, warum hast du mich nur daran erinnert?

Es geht mir nicht um eine Komplettlösung auf dem Silbertablett, vielmehr reicht mir eine Anregung wie man an ein solches Integral herangeht.
Und obwohl ich höhere Mathematik erfolgreich absolviert habe, fällt mir hier nichts zu ein - außer einer Approximation.

Nun wünsche ich mir etwas Neues und das wäre eine Anregung zu diesem Problem.

Vielen Dank und viele Grüße

Nidal

02.03.2011, 11:41

Ibn Batuta

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So sieht das Integral aus?

$\begin{eqnarray*} \int_0^v \frac{c}{1+e^{-a\cdot(x-b)}} \ \dx \end{eqnarray*}$

Ibn Batuta

02.03.2011, 11:45

Nidal

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Genau, so sieht es aus.

02.03.2011, 12:13

Ibn Batuta

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Du könntest das ein bisschen anders hinschreiben.

$\begin{eqnarray*} c \int_0^v \frac{1}{1+e^{-a\cdot x + ab}} \ \dx \end{eqnarray*}$

Und die Stammfunktion zu ermitteln ist nun nicht mehr schwer.

Ibn Batuta

02.03.2011, 12:40

Nidal

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Kommt raus

$\begin{eqnarray*} F(x)=-\frac{c}{a}(ln(1+e^{-ax+ab}) + C \end{eqnarray*}$ ?

Wenn ja, war es doch relativ einfach.
Habe den Exponenten substituiert mit z=-ax+ab und dz/dx=-a.

Viele Grüße
Nidal

02.03.2011, 12:58

Ibn Batuta

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Leider nein, denn die Ableitung deines F(x) ist:

$\begin{eqnarray*} F'(x)=-\frac c a \cdot \frac{- a\cdot e^{-ax+ab}}{1+e^{-ax+ab}}=c\cdot\frac{e^{-ax+ab}}{1+e^{-ax+ab}} \ne c\cdot\frac{1}{1+e^{-ax+ab}}<br /> \end{eqnarray*}$

Du kannst den Ausdruck noch weiter umformen, dann wird es klarer.

$\begin{eqnarray*} \frac{c}{1 + e^{(-ax + ab)}}=\frac{c\cdot e^{ax}}{e^{ax}+e^{ab}} \end{eqnarray*}$

Ibn Batuta

02.03.2011, 13:44

Nidal

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uiuiui,
ich habe nun heraus:
$\begin{eqnarray*} F(x)=\frac{c}{a} ln(e^{ax}+e^{ab})+C \end{eqnarray*}$ .

Ableitung stimmt auch.

Ich bedanke mich herzlich und kann nun eine analytische Ertragsprognose einer beliebigen Windenergieanlage an einem beliebigen Weibull-verteilten Windstandort durchführen.
Prost

Vielen Dank und viele Grüße

02.03.2011, 14:06

Ibn Batuta

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Wenn es Spaß macht.

Die Stammfunktion ist korrekt.

Ibn Batuta

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Integral außerhalb meines Fähigkeitsbereiches

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