Bild A = Bild A*A^T

02.03.2011, 14:51	chrizke	Auf diesen Beitrag antworten »
*Bild A = Bild AA^T Hi, in nem Skript, das ich grad durcharbeite steht folgende Behauptung: Für jede beliebige** reelle Matrix A gilt: $\begin{eqnarray} \operatorname{im} (A) = \operatorname{im} (AA^T) \end{eqnarray}$ Hat jemand für mich für die $\begin{eqnarray} \subseteq \end{eqnarray}$ Richtung einen Denkanstoß?
02.03.2011, 15:15	Mazze	Auf diesen Beitrag antworten »
im(A) ist die Menge der Linearkombinationen der Spalten von A. Betrachten wir nun eine Matrix B, so dass das Produkt AB definiert ist, dann ist $\begin{eqnarray} AB = (AB_1, AB_2,...,AB_n) \end{eqnarray}$ wobei $\begin{eqnarray} B_i \end{eqnarray}$ die i-te Spalte von B ist. Betrachten wir nun das Produkt $\begin{eqnarray} ABx \end{eqnarray}$ für einen Vektor x, haben wir $\begin{eqnarray} ABx = (AB)_1 x_1 + (AB)_2x_2 + ... +(AB)_mx_m \end{eqnarray*}$ Sprich, wir haben eine Linearkombination der Spalten von AB, jetzt schau dir diese Spalten mal genau an, was ist jede Spalte eigentlich ?
02.03.2011, 15:28	chrizke	Auf diesen Beitrag antworten »
Jede Spalte von AB ist im Bild von A enthalten. Somit ist ABx auch im Bild von A. Aber das zeigt mir doch nur die $\begin{eqnarray} \supseteq \end{eqnarray}$ Richtung meiner Behauptung, oder?
02.03.2011, 15:35	Mazze	Auf diesen Beitrag antworten »
Hm, stimmt. Also ist zu zeigen, wenn $\begin{eqnarray} y = \sum_{i=1}^n A_ix_i \end{eqnarray}$ gilt, dass es dann auch Koeffizienten z_i gibt mit $\begin{eqnarray} y = \sum_{i=1}^n (AA^T)_iz_i \end{eqnarray}$
02.03.2011, 15:37	chrizke	Auf diesen Beitrag antworten »
Genau. Und das geht wie? Das ist ja exakt das Problem das ich hatte
02.03.2011, 15:52	Mazze	Auf diesen Beitrag antworten »
Schreib mal genau auf was $\begin{eqnarray} (AA^Tx)_i \end{eqnarray}$ ist und sortiere die Summen um. edit : Und schon wieder die andere Richtung gezeigt... allerdings liefert dieser Weg auch die Lösungsidee für die Hinrichtung. edit2: Die Frage ist doch, ob für $\begin{eqnarray} y = Ax \end{eqnarray}$ also $\begin{eqnarray} y \in im(A) \end{eqnarray}$ die Gleichung $\begin{eqnarray} Ax = AA^Tz \end{eqnarray}$ für z lösbar ist. Vielleicht hilft das mehr. (Das riecht nach Pseudoinverse)
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03.03.2011, 11:40	turbojunge	Auf diesen Beitrag antworten »
$\begin{eqnarray} Bild(AA^t) \subset Bild(A) \end{eqnarray}$ ist ja klar. Wenn man jetzt noch zeigen kann, dass die Dimensionen der beiden Vektorräume gleich sind, ist man fertig. Dazu zeigt man am einfachsten, dass $\begin{eqnarray} Kern(AA^t) = Kern(A^t) \end{eqnarray}$ , Daraus folgt aus Dimensionsgründen und wg. $\begin{eqnarray} rang(A)=rang(A^t) \end{eqnarray}$ die Dimensionsgleichheit wie oben beschrieben. Tipp: Um zu zeigen, dass $\begin{eqnarray} Kern(AA^t) = Kern(A^t) \end{eqnarray}$ betrachtet man u.a. den Wert $\begin{eqnarray} \|A^t x\|^2 \end{eqnarray}$ . Hier geht dann auch ein, dass die Matrix reelle Einträge hat...

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