Basis eines Unterraums

02.03.2011, 16:52

Maddin123

Basis eines Unterraums

Meine Frage:
Hey Leute!

Habe ein Problem bei folgender Fragestellung:

Sei U = {x element R³ | 2x1 + 5ax2 + ax3 = 0 } ein Unterraum von R³

Bestimmen sie eine Basis von U

Meine Ideen:
Kann ich als Antwort eine Beliebige Matrix, die eine R³ Basis erzeugt verwenden,

zb:

1 0 0
0 1 0
0 0 1

oder muss ich was spezielleres machen?

Vielen Dank schonmal für die Hilfe smile

02.03.2011, 16:55

Ibn Batuta

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RE: Basis eines Unterraums

Zitat:

Original von Maddin123
oder muss ich was spezielleres machen?

Ja, nämlich eine Basis dieses Untervektorraums finden.

Ibn Batuta

02.03.2011, 17:49

m-power

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Hallo,

zuerst einmal sehe ich an deiner Nachfrage, dass du den Begriff des Untervektorraums nicht verstanden hast.
Daher schau dir die Definition bitte genau an und verinnerliche sie (z. B. durch einfache Beispiele); siehe auch Wikipedia hierzu (Artikel "Vektorraum").

Du hast also folgende Menge gegeben:

$\begin{eqnarray*} U = \left \{ \vec{x}=(x_1,x_2,x_3)^T \in \mathbb R^3 \ | \ 2\cdot x_1 + 5a\cdot x_2 + a\cdot x_3 = 0 \right \} \end{eqnarray*}$

Da es in der Aufgabenstellung heißt "Sei $\begin{eqnarray*} U \end{eqnarray*}$ ein Untervektorraum ..." ist davon auszugehen, dass du nicht überprüfen musst, dass $\begin{eqnarray*} U \end{eqnarray*}$ ein Untervektorraum ist; sondern das als Tatsache annehmen darfst.

Nun sind in diesem Untervektorraum viele Elemente, nämlich gewisse Vektoren des dreidimensionalen Raumes $\begin{eqnarray*} \mathbb R^3 \end{eqnarray*}$ , wie zum Beispiel
$\begin{eqnarray*} (0,0,0),(2,5a,a), (2,10a,3a), (6,0,-9a), \cdots \end{eqnarray*}$
Aber das Element $\begin{eqnarray*} (1,5a,a) \end{eqnarray*}$ ist offensichtlich nicht in $\begin{eqnarray*} U \end{eqnarray*}$ enthalten.
Also muss $\begin{eqnarray*} U \neq \mathbb R^3 \end{eqnarray*}$ gelten. Insbesondere ist die von dir angegebene Basis keine Basis von $\begin{eqnarray*} U \end{eqnarray*}$ , sondern eine Basis von $\begin{eqnarray*} \mathbb R^3 \end{eqnarray*}$ .

Du musst dir nun überlegen, wie eine Basis von U aussehen könnte (davon gibt es mehr als eine). Genauer: Mit welchen Vektoren (des $\begin{eqnarray*} \mathbb R^3 \end{eqnarray*}$ ) kann man alle Elemente in U mittles Linearkombination darstellen?

Ich hoffe, ich konnte dir schon mal ein wenig helfen.

Freundliche Grüße,
m-power

02.03.2011, 17:53

m-power

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Bitte vergiss die Aussage in meinem vorherigen Posting:
"Aber das Element $\begin{eqnarray*} (1,5a,a) \end{eqnarray*}$ ist offensichtlich nicht in $\begin{eqnarray*} U \end{eqnarray*}$ enthalten."
Das ist leider Quatsch gewesen :-D

03.03.2011, 16:41

Corny

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ich hoffe ich kann hier einfach mal weitermachen, weil mich die Lösung auch interessieren würde, weil ich auch noch nicht so vertraut bin mit Untervektorräumen.

Meine Idee wäre, die Lösungen des Gleichungssystems zu berechnen. Dabei würden dann 2 frei wählbare Variablen auftreten. Das bedeutet mein Untervektorraum hat die Dimension 2, also benötigt mein 2 Basisvektoren um diesen aufzuspannen.

Meine Lösung ist:

Basis: ((-a/2,0,1),(-5a/2,1,0)) kann das stimmen? Also wie gesagt, ich hab einfach x1,x2,x3 berechnet und das Erzeugnis von der Lösung als Basis des Untervektorraums genommen.
Ist das so richtig?

Gruß Corny

03.03.2011, 16:48

Iorek

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Zitat:

Original von Corny
Basis: ((-a/2,0,1),(-5a/2,1,0))

Mit deinem zweiten Basisvektor bin ich nicht einverstanden, wie kommt das a in der ersten Komponente zustande?

03.03.2011, 16:51

MatheMathosi

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Also ich hab das eben auch mal nachgerechnet und komme auf das selbe Ergebnis.

03.03.2011, 16:53

Iorek

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@MatheMathosi, danke für die Korrektur, ich habe bei meiner Rechnung ein a verschlampt.

Dann kann ich das Ergebnis jetzt auch bestätigen. smile

03.03.2011, 16:56

Corny

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Perfekt.
Danke an euch zwei smile

Gruß Corny

03.03.2011, 17:06

MatheMathosi

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Eine Frage hätte ich da doch noch :

D.h. also bei so einer Aufgabe betrachte ich dann sozusagen die 1 x 3 Matrix und wende den Gauß an mit je nach dem womit die Gleichung eben gleichgesetzt ist.
Die Lösung bildet dann eine Basis des Untervektorraumes oder ?

03.03.2011, 17:14

Iorek

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Ja, das wäre das Vorgehen.

Im Prinzip interpretiert man die Menge als Kern der linearen Abbildung $\begin{eqnarray*} \varphi_a:~\mathbb R^3\rightarrow \mathbb R,~\begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \end{pmatrix} \mapsto 2x_1+5ax_2+ax_3 \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} a\in\mathbb R \end{eqnarray*}$ . Der Kern einer linearen Abbildung ist bekantermaßen ein Vektorraum, und eine Basis des Kerns erhält man mit Gauß.

03.03.2011, 17:16

MatheMathosi

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Optimal gut danke dir.

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