Flächeninhalt zwischen zwei Kurven näherungsweise null

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02.03.2011, 17:49

Telperion

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Flächeninhalt zwischen zwei Kurven näherungsweise null

Hallo zusammen. smile

Ich habe folgende Aufgabe:

Zitat:

Nehmen sie begründet Stellung zu folgender Aussage:
Wenn für zwei Funktionen die Flächeninhalte der Flächen zwischen der t-Achse und dem jeweiligen Graphen in einem Intervall näherungsweise gleich sind, dann ist der Flächeninhalt der Fläche zwischen den beiden Graphen in diesem Intervall näherungsweise null.

Mir ist klar, dass diese Aussage stimmt, es geht mit um die mathematische Begründung.

Ich habe das wie folgt gemacht:
Sei $\begin{eqnarray*} g(t)\geq h(x) \end{eqnarray*}$ . Außerdem sei $\begin{eqnarray*} \int_a^b g(t)~\mathrm{d}t=c \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \int_a^b h(t)~\mathrm{d}t=d \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} c\approx d \wedge c\geq d ~\Rightarrow~ \int_a^b g(t)~\mathrm{d}t - \int_a^b h(t)~\mathrm{d}t=c-d\approx 0 \end{eqnarray*}$

Kann ich das so begründen oder fehlt hier etwas?
Danke für die Anworten. smile

\edit: Sorry, gehört wohl eigentlich in die Schulmathematik; habe im falschen Forum gepostet. unglücklich

02.03.2011, 17:58

Ibn Batuta

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Ich würde die Aussage mal bezweifeln...

Ibn Batuta

02.03.2011, 18:03

Telperion

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Erstmal Danke für die Antwort.
Falls du den edit nicht gesehen hast, es geht um Schulmathematik, habe ausversehen im falschen Forum gepostet.

Wenn du die Aussage bezweifelst, dann denkst du an was für Funktionen?

02.03.2011, 18:10

Ibn Batuta

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Das macht nichts, daß es hier gelandet ist. Können das auch hier debattieren.

Ich denke da z.B. an eine e-Funktion und an zusammengesetzte Funktionen. Die Flächeninhalte können fast identisch sein, aber die Fläche zwischen den beiden Graphen muss nicht unbedingt identisch sein...

Ibn Batuta

02.03.2011, 18:15

Telperion

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Okay, das heißt, selbst wenn ich die Funktionen auf dem selben Intervall integriere und die Fläche zwischen diesen Funktionen und der x-Achse in etwa gleich ist, so muss nicht auch zwangsläufig die Fläche zwischen diesen beiden Funktionen gleich sein?

Das heißt, dass ich die Aussage in soweit einschränken müsste, dass ich sage, dass die Funktionswerte auch ähnlich sein müssen?

02.03.2011, 18:16

Ibn Batuta

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Zitat:

Original von Telperion
Okay, das heißt, selbst wenn ich die Funktionen auf dem selben Intervall integriere und die Fläche zwischen diesen Funktionen und der x-Achse in etwa gleich ist, so muss nicht auch zwangsläufig die Fläche zwischen diesen beiden Funktionen gleich sein?

Ja, richtig. Kann dir gerne morgen bei Bedarf ein Beispiel dafür geben.

Zitat:

Original von Telperion
Das heißt, dass ich die Aussage in soweit einschränken müsste, dass ich sage, dass die Funktionswerte auch ähnlich sein müssen?

Ja.

Ibn Batuta

02.03.2011, 18:19

Telperion

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Ja, ich hätte gerne ein Beispiel von dir. Augenzwinkern

Aber meine Argumentation oben ist dann schon richtig, wenn ich noch fordere, dass die Funktionswerte ähnlich sein müssen? (Das habe ich dann wohl übersehen.)

Danke dir für deine Hilfe. Freude

02.03.2011, 18:21

Ibn Batuta

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Zitat:

Original von Telperion
Ja, ich hätte gerne ein Beispiel von dir. Augenzwinkern

Geht klar. Werde nämlich gleich losziehen, daher das Beispiel erst Morgen.. Sorry!

Zitat:

Original von Telperion
Aber meine Argumentation oben ist dann schon richtig, wenn ich noch fordere, dass die Funktionswerte ähnlich sein müssen? (Das habe ich dann wohl übersehen.)

Danke dir für deine Hilfe. Freude

Ja! Bitte. smile

Ibn Batuta

02.03.2011, 18:23

Telperion

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Du brauchst dich nicht zu entschuldigen, viel Spaß.

Ich freue mich dann auf Morgen! Wink

02.03.2011, 18:47

Calvin

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Auf pn-Wunsch von Telperion in Schulmathe verschoben.

03.03.2011, 12:54

Ibn Batuta

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Beispiel aus hier:
http://www.silberkamp.de/Faecherportal/M...3%B6sungen3.pdf

Nehmen wir an, die Aussage sei wahr. Gegenbeispiel:

$\begin{eqnarray*} f(x)=\frac{100}{79\cdot e^{-\frac 1 4 x}+1} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} g(x)=\begin{cases} 1.25\cdot e^{0.222\cdot x}, & 0\le x\le 15 \\<br /> 6.05x-55.75, & 15<x<20 \\<br /> 100-3006\cdot e^{-0.223\cdot x}, & x\ge 20 \\<br /> \end{cases} \end{eqnarray*}$

Betrachtet wird das Integral $\begin{eqnarray*} \int_0^{35} f(x)\dx \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \int_0^{35} g(x)\dx \end{eqnarray*}$ .

$\begin{eqnarray*} \int_0^{35} f(x)=\int_0^{35} \frac{100}{79\cdot e^{-\frac 1 4 x}+1} \ \dx=400\cdot\ln\left(\frac{e^{\frac{35} 4} + 79}{80}\right)\approx 1752.16564 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \int_0^{35} g(x)=\int_0^{15} 1.25\cdot e^{0.222\cdot x} \ \dx + \int_{15}^{20} 6.05x-55.75 \ \dx + \int_{20}^{35} 100-3006\cdot e^{-0.223\cdot x} \ \dx=1751.94187596 \end{eqnarray*}$

Wenn man allerdings die Fläche zwischen den beiden betrachtet, sieht man daß die Aussage falsch ist.

Ibn Batuta

03.03.2011, 18:02

Telperion

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Danke für die Antwort Ibn und sorry, dass ich erst so spät antworte.

Du hast Recht, ich habe es nachgerechnet.

Die Behauptung ist also falsch, ich müsste noch fordern, dass die Funktionswerte auch noch ähnlich sind.

Danke. smile

03.03.2011, 18:25

abc2011

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RE: Flächeninhalt zwischen zwei Kurven näherungsweise null

Zitat:

Original von Telperion
Sei $\begin{eqnarray*} g(t)\geq h(x) \end{eqnarray*}$ .

Um diese Vorausetzung geht es natürlich. In der Aufgabe steht nichts davon.

03.03.2011, 21:05

Telperion

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RE: Flächeninhalt zwischen zwei Kurven näherungsweise null
Ja, das habe ich auch gesehen, das war wohl mein Denkfehler.
Wenn diese Vorraussetzung aber gilt und ich dann noch fordere, dass die Funktionswerte ähnlich sind, dann stimmt es ja. Augenzwinkern

Problem geklärt; Danke! smile

03.03.2011, 22:20

abc2011

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RE: Flächeninhalt zwischen zwei Kurven näherungsweise null
In der Form $\begin{eqnarray*} g(t)\geq h(t)\geq 0 \end{eqnarray*}$ wäre es hinreichend.

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Flächeninhalt zwischen zwei Kurven näherungsweise null

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