Ableitung e-Funktion?

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02.03.2011, 18:26	Cheftheoretiker	Auf diesen Beitrag antworten »
Ableitung e-Funktion? Hallo, wie leite ich folgende e-Funktion ab? $\begin{eqnarray} f(x)=e^{-\frac{1}{x^2}} \end{eqnarray}$ Kann mir jemand einen Tipp geben wie man sowas ableitet?
02.03.2011, 18:31	MatheMathosi	Auf diesen Beitrag antworten »
Du benutzt die Kettenregel also äußere mal innere Ableitung wobei die innere Ableitung hier das ist was im exponenten steht. 1 / x^2 kannst du ja auch noch umschreiben.
02.03.2011, 18:36	Cheftheoretiker	Auf diesen Beitrag antworten »
Also, $\begin{eqnarray} f(x)=e^{-\frac{1}{x^2}} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} =e^{-1x^{-2}} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} u'=2x^{-3} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} v'=? \end{eqnarray}$ Wie leite ich denn nun die innere Klammer ab? $\begin{eqnarray} f'(x)=2x(e^{-\frac{1}{x^2}})^{-3}(?) \end{eqnarray*}$
02.03.2011, 18:44	MatheMathosi	Auf diesen Beitrag antworten »
Die innere Ableitung hast du ja schon richtig gemacht. Die äußere Ableitung ist ja einfach nur wieder die e-Funktion. Du musst das garnicht so kompliziert machen
02.03.2011, 18:47	Cheftheoretiker	Auf diesen Beitrag antworten »
Ja, aber ich muss doch jetzt $\begin{eqnarray} f(x)=e^{-\frac{1}{x^2}} \end{eqnarray}$ ableiten, aber wie? einfach $\begin{eqnarray} e^{-1x^{-2}} = \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} e^{2x^{-3}} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} f'(x)=2x(e^{-\frac{1}{x^2}})^{-3}e^{2x^{-3}} \end{eqnarray*}$ oder wie?
02.03.2011, 18:51	MatheMathosi	Auf diesen Beitrag antworten »
Ja genau aber die Ableitung von $\begin{eqnarray} <br /> e^{x} <br /> \end{eqnarray}$ ist gerade $\begin{eqnarray} <br /> e^{x} <br /> \end{eqnarray}$ Du hast also hier $\begin{eqnarray} <br /> f ' (x) = 2x^{-3} \cdot e^{-x^{-2}} <br /> \end{eqnarray}$
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02.03.2011, 18:56	Cheftheoretiker	Auf diesen Beitrag antworten »
Das verstehe ich jetzt nicht, ist meine Ableitung falsch?`
02.03.2011, 19:05	MatheMathosi	Auf diesen Beitrag antworten »
Du hast doch die Potenz der e-Funktion abgeleitet $\begin{eqnarray} <br /> g(x) = - \frac{1}{x^{2}} \Rightarrow g'(x) = 2x^{-3}<br /> \end{eqnarray}$ Das war die Innere Ableitung der Funktion $\begin{eqnarray} <br /> f(x) = e^{-\frac{1}{x^{2}} } <br /> \end{eqnarray}$ Die äußere Ableitung ist die Funktion selbst da $\begin{eqnarray} <br /> f(x) = e^{x} \Rightarrow f'(x) = e^{x} <br /> \end{eqnarray}$ gilt. Mit der Kettenregel hast du also äußere Ableitung mal innere Ableitung und somit $\begin{eqnarray} <br /> f'(x) = 2x^{-3} \cdot e^{-\frac{1}{x^{2}} }<br /> \end{eqnarray}$
02.03.2011, 19:12	Cheftheoretiker	Auf diesen Beitrag antworten »
$\begin{eqnarray} f'(x)=2x(e^{-\frac{1}{x^2}})^{-3}e^{-\frac{1}{x^2}} \end{eqnarray*}$ So muss es doch dann lauten?
02.03.2011, 19:15	MatheMathosi	Auf diesen Beitrag antworten »
Nein du vermischst hier die Dinge. Die Kettenregel besagt äußere mal innere Ableitung. Die innere Ableitung ist nur die Ableitung der Potenz. Du leitest die Potenz ab und versuchst die e-Funktion darum zu basteln, das ist aber völliger unsinn.
02.03.2011, 19:23	Cheftheoretiker	Auf diesen Beitrag antworten »
Aber ich meine bei dieser Aufgabe wird es doch genau so gemacht, $\begin{eqnarray} f(x)=(x^2-10)^2 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} f'(x)=2(x^2-10)2x \end{eqnarray*}$
02.03.2011, 19:30	MatheMathosi	Auf diesen Beitrag antworten »
Ja genau du hast zuerst die äußere Ableitung mal die innere Ableitung. Hier ist aber doch die äußere Ableitung anders als die ursprüngliche Funktion. Du machst bei deinem Beispiel nichts anderes. $\begin{eqnarray} <br /> f(x) = e^{g(x)} \Rightarrow f'(x) = g'(x) \cdot e^{g(x)}<br /> \end{eqnarray}$ Verstehst du wie ich mein ?
02.03.2011, 19:32	Cheftheoretiker	Auf diesen Beitrag antworten »
Ja, gilt dass denn nur bei der e-Funktion dass man dann einfach den Teil weg lassen kann?
02.03.2011, 19:34	MatheMathosi	Auf diesen Beitrag antworten »
Du lässt doch bei deinem anderen Beispiel bei der inneren Ableitung auch den anderen Teil weg und schreibst nicht $\begin{eqnarray} <br /> (2x)^2<br /> \end{eqnarray}$ oder irgendsowas ähnliches...
02.03.2011, 19:36	Cheftheoretiker	Auf diesen Beitrag antworten »
Hmm... wie siehts denn mit dieser Aufgabe aus, $\begin{eqnarray} f(x)=e^{ax} \end{eqnarray}$ wie leite ich denn das ab?
02.03.2011, 19:45	MatheMathosi	Auf diesen Beitrag antworten »
Naja wie gehabt : $\begin{eqnarray} <br /> <br /> a \cdot e^{ax}<br /> <br /> \end{eqnarray}$
02.03.2011, 19:50	Cheftheoretiker	Auf diesen Beitrag antworten »
Okay, also brauch man sich so gesehen nur merken, die Ableitung von f(x)=e^x ist gleich f'(x)=e^x Die restigen Exponenten werden abgeleitet... ja?
02.03.2011, 19:51	MatheMathosi	Auf diesen Beitrag antworten »
Ja genau werden abgeleitet und mit der e-Funktion multipliziert.
02.03.2011, 19:53	Cheftheoretiker	Auf diesen Beitrag antworten »
Okay, kannst du vielleicht noch eine Aufgabe bringen das ich schauen kann, dass ich es auch einigermaßen verstanden habe?
02.03.2011, 19:56	MatheMathosi	Auf diesen Beitrag antworten »
Ok nehmen wir : $\begin{eqnarray} <br /> <br /> f(x) = e^{(x^{2} + x + 1)^2}<br /> <br /> \end{eqnarray}$ Hier musst du die Kettenregel doppelt anwenden. Wenn du das hinbekommst denke ich hast dus drauf
02.03.2011, 20:11	MatheMathosi	Auf diesen Beitrag antworten »
Ansonsten kann ich dir auch noch eine leichtere geben.
02.03.2011, 20:15	Cheftheoretiker	Auf diesen Beitrag antworten »
Hmm... lieber erstmal eine leichtere
02.03.2011, 20:18	MatheMathosi	Auf diesen Beitrag antworten »
$\begin{eqnarray} <br /> <br /> f(x) = e^{x^2 + 1}<br /> <br /> \end{eqnarray}$
02.03.2011, 20:23	Cheftheoretiker	Auf diesen Beitrag antworten »
$\begin{eqnarray} f'(x)=(x+1)e^{x^2+1} \end{eqnarray}$ ja?
02.03.2011, 20:25	MatheMathosi	Auf diesen Beitrag antworten »
Nein ! Was ist denn die Ableitung der Potenz ? Sicher nicht (x+1)
02.03.2011, 20:26	Cheftheoretiker	Auf diesen Beitrag antworten »
Hm, ich weiß ncihtmal wie ich es ableiten muss.
02.03.2011, 20:34	MatheMathosi	Auf diesen Beitrag antworten »
Naja ich denke das bekommst du hin was ist den die Ableitung von $\begin{eqnarray} <br /> <br /> f(x) = x^2 + 1<br /> <br /> \end{eqnarray}$ ?
02.03.2011, 20:36	Cheftheoretiker	Auf diesen Beitrag antworten »
$\begin{eqnarray} <br /> <br /> f(x) = x^2 + 1<br /> <br /> \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} f'(x)=2x \end{eqnarray}$
02.03.2011, 20:38	MatheMathosi	Auf diesen Beitrag antworten »
Ja genau und das ist dann die innere Ableitung von $\begin{eqnarray} <br /> f(x) = e^{x^2+1}<br /> \end{eqnarray}$
02.03.2011, 20:45	Cheftheoretiker	Auf diesen Beitrag antworten »
Also dann, $\begin{eqnarray} f'(x)=2xe^{x^2+1} \end{eqnarray}$ ?
02.03.2011, 20:46	MatheMathosi	Auf diesen Beitrag antworten »
ganz genau jetzt kannst du ja mal die andere versuchen.
02.03.2011, 20:49	Cheftheoretiker	Auf diesen Beitrag antworten »
$\begin{eqnarray} <br /> <br /> f(x) = e^{(x^{2} + x + 1)^2}<br /> <br /> \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} e^{2(x^2+x+1)(2x+1)} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} 2(2x+1)e^{(x^2+x+1)^2} \end{eqnarray}$ ?
02.03.2011, 20:53	MatheMathosi	Auf diesen Beitrag antworten »
Du hast das schon fast richtig gemacht. Du musst daran denken das du die Dinge immer einzeln betrachtest. Die Kettenregel besagt ja äußere mal innere Ableitung. Was ist den die Funktion für die innere Ableitung ?
02.03.2011, 20:53	Cheftheoretiker	Auf diesen Beitrag antworten »
Die innere ist dann ja (2x+1)
02.03.2011, 21:14	MatheMathosi	Auf diesen Beitrag antworten »
Also für die innere Ableitung betrachtest du $\begin{eqnarray} <br /> <br /> (x^2 + x + 1)^2<br /> <br /> \end{eqnarray}$ Diese Funktion musst du also ableiten und hierbei wieder die Kettenregel benutzen, was du ja schon mehr oder weniger richtig gemacht hast mit $\begin{eqnarray} <br /> <br /> 2(x^2+x+1)(2x+1)<br /> <br /> \end{eqnarray}$ Was ist also nun die Ableitung der Fuktion ?
02.03.2011, 21:16	Cheftheoretiker	Auf diesen Beitrag antworten »
Das habe ich doch auch, $\begin{eqnarray} e^{2(x^2+x+1)(2x+1)} \end{eqnarray}$ Ja, ich weiß nicht was ich nun noch machen soll...
02.03.2011, 21:20	MatheMathosi	Auf diesen Beitrag antworten »
nein das ist aber falsch. Ich kann es nur nochmal wiederholen äußere mal innere Ableitung. $\begin{eqnarray} <br /> f(x) = e^{g(x)} \Rightarrow f'(x) = g'(x) \cdot e^{g(x)}<br /> \end{eqnarray}$ Dein g(x) hast du ja vollkommen richtig abgeleitet aber warum schreibst du das in die Potenz hinein das macht keinen Sinn. Hier gilt $\begin{eqnarray} <br /> g(x) = (x^2 + x + 1)^2<br /> \end{eqnarray}$
02.03.2011, 21:22	Cheftheoretiker	Auf diesen Beitrag antworten »
Also dann, $\begin{eqnarray} (2x+1)e^{2(x^2+x+1)} \end{eqnarray}$
02.03.2011, 21:29	MatheMathosi	Auf diesen Beitrag antworten »
Nein leider immer noch nicht. Das Schwierige an der Aufgabe ist, dass du die Kettenregel zweimal anwenden musst. Du willst die Ableitung von $\begin{eqnarray} <br /> f(x) = e^{(x^2 + x +1)^2}<br /> \end{eqnarray}$ Dafür benutzt du die Kettenregel und machst äußere mal innere Ableitung du musst also das was in der Potenz steht ableiten Hier also $\begin{eqnarray} <br /> g(x) = (x^2 + x + 1)^2<br /> \end{eqnarray}$ Um g(x) nun abzuleiten musst du wieder die Kettenregel benutzen was du ja richtig gemacht hast. $\begin{eqnarray} <br /> g'(x) = 2(x^2 + x + 1) \cdot (2x + 1)<br /> \end{eqnarray}$ Das ist also die innere Ableitung von unserer Funktion. Nun die innere mal die äußere Ableitung und fertig. Bedenke aber das die äußere Ableitung von der e-Funktion wieder die e-Funktion ist wie im vorherigen Beispiel
02.03.2011, 21:32	Cheftheoretiker	Auf diesen Beitrag antworten »
Hm... irgendwie verstehe ich das noch nicht... ich werde das erstmal sicken lassen.

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