Konvergenz

Neue Frage »

29.11.2006, 23:04	martin85	Auf diesen Beitrag antworten »
Konvergenz Guten Abend! ich soll folgende Folge auf Konvergenz überprüfen: $\begin{eqnarray} a_n = \sqrt{n+1} - \sqrt{n} \end{eqnarray}$ Ich sehe der Folge zwar an, dass sie gegen Null geht, aber ich weiß nicht, wie ich das zeige. Kann mir da jemand weiterhelfen?
29.11.2006, 23:08	Abakus	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Konvergenz Erweitere den Ausdruck geschickt mit der 3-ten binonischen Formel. Grüße Abakus
30.11.2006, 09:45	martin85	Auf diesen Beitrag antworten »
Hallo, wenn ich mit der 3.ten Binomischen Formel erweitere, erhalte ich folgendes: $\begin{eqnarray} (\sqrt{n+1} - \sqrt{n}) \cdot (\sqrt{n+1} + \sqrt{n}) \end{eqnarray}$ nach dem Ausmultiplizieren steht da dann n+1-n und das ist gleich 1. Das kann aber doch gar nicht sein, das der Taschenrechner sagt, dass die Folge gegen Null geht.
30.11.2006, 09:51	Dual Space	Auf diesen Beitrag antworten »
Eine Seite einer Gleichung zu Erweitern bedeutet insbesondere, dass sich die andere Seite NICHT verändert. Du hast die ganze Gleichung mit einem Term multipliziert! Also zweiter Versuch.
30.11.2006, 09:55	martin85	Auf diesen Beitrag antworten »
Sorry, aber das habe ich jetzt nicht verstanden. Bei mir hat sich doch die andere Seite nicht verändert, oder??
30.11.2006, 09:59	Dual Space	Auf diesen Beitrag antworten »
Doch das hat sie, denn du hast folgendes gemacht: $\begin{eqnarray} a_n=\sqrt{n+1}-\sqrt{n}~\Leftrightarrow~a_n \cdot (\sqrt{n+1}+\sqrt{n})=(\sqrt{n+1}-\sqrt{n})(\sqrt{n+1}+\sqrt{n}) \end{eqnarray}$ Erweitern geht z.B. so: $\begin{eqnarray} a_n=\sqrt{n+1}-\sqrt{n}=\frac{(\sqrt{n+1}-\sqrt{n})\cdot n}{n} \end{eqnarray}$ Also jetzt versuch mal mit Hilfe der 3. Binomischen Formel geschickt zu erweitern.
Anzeige

30.11.2006, 10:09	martin85	Auf diesen Beitrag antworten »
Ist das dann so richtig? $\begin{eqnarray} a_n = \frac{(\sqrt{n+1}-\sqrt{n})\cdot(\sqrt{n+1}+\sqrt{n})}{\sqrt{n+1}+\sqrt{n}} \end{eqnarray}$ und durch Ausmultiplizieren erhalte ich $\begin{eqnarray} \frac{1}{{\sqrt{n+1}+\sqrt{n}}} \end{eqnarray}$
30.11.2006, 10:10	Dual Space	Auf diesen Beitrag antworten »
Aha .. und wie ist der Grenzwert dieses Ausdruckes?
30.11.2006, 10:16	martin85	Auf diesen Beitrag antworten »
Der Grenzwert des Zählers ist 1 und der Grenzwert des Nenners geht gegen unendlich. Somit geht die Folge gegen Null.
30.11.2006, 10:36	Dual Space	Auf diesen Beitrag antworten »
Jepp.
30.11.2006, 10:40	martin85	Auf diesen Beitrag antworten »
Vielen Dank für die Hilfe
30.11.2006, 19:00	martin85	Auf diesen Beitrag antworten »
Habe hier noch eine Folge: $\begin{eqnarray} \frac{1+2+...+n}{n+2}-\frac{n}{2} \end{eqnarray}$ Ich habe die Folge so auf einen Bruch gebracht: $\begin{eqnarray} \frac{(1+2+...+n)2-n(n+2)}{(n+2)2} =\frac{(1+2+...+n)2-n^2 -2n}{2n+4} \end{eqnarray}$ Dann den Bruch durch n dividiert $\begin{eqnarray} \frac{\frac{(1+2+...+n)2}{n}-n -2}{2+\frac{4}{n}} \end{eqnarray}$ Ist das soweit richtig? Ich komme nämlich nicht weiter. Dem Nenner kann man schon ansehen, dass er gegen 2 konvergiert. Mit dem Zähler komme ich aber nicht klar.
30.11.2006, 19:12	Mathespezialschüler	Auf diesen Beitrag antworten »
Was ist denn $\begin{eqnarray} 1+\ldots+n \end{eqnarray}$ ? Kennst du dafür nicht eine tolle Formel? Gruß MSS
30.11.2006, 19:15	martin85	Auf diesen Beitrag antworten »
Da fällt mir momentan keine Formel ein.
30.11.2006, 19:16	Mathespezialschüler	Auf diesen Beitrag antworten »
Und ihr habt auch keine Formelsammlung o.Ä., wo das drin steht? Wenn ihr diese Folge untersuchen sollt, nehme ich an, dass ihr die Summenformel vorher irgendwann mal beweisen musstet ... Gruß MSS
30.11.2006, 19:45	martin85	Auf diesen Beitrag antworten »
Meinst du das? $\begin{eqnarray} \sum_{n=1}^\infty~n \end{eqnarray}$
30.11.2006, 19:47	Mathespezialschüler	Auf diesen Beitrag antworten »
Nein, das ist eine divergente unendliche Reihe! Es ist doch $\begin{eqnarray} 1+2+\ldots+n=\sum_{k=1}^n~k=\frac{n(n+1)}{2} \end{eqnarray}$ . Das müsstest du eigentlich kennen. Gruß MSS
30.11.2006, 20:44	martin85	Auf diesen Beitrag antworten »
Das hatten wir, als wir Induktionen gemacht haben. Das mussten wir beweisen. Aber sonst hatten wir das nie erwähnt. Wie soll ich dann auch das kommen.

Neue Frage »

Antworten »

Konvergenz

Verwandte Themen