Rotationsvolumen |
| 02.03.2011, 19:53 | ES | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
| Rotationsvolumen Es geht um folgendes: Volumenberechnung von Rotationskörpern! Eigentlich ja nur Anwendung der Formeln, allerdings bin ich da auf ein Problemchen gestoßen: Ich habe zum Beispiel die Funktion y(x) = 2 x im Intervall 0<x<5 . Nun möchte ich die Gerade um die Y-Achse rotieren lassen: Ich setze also ein und erhalte: Nun wollte ich das Ergebnis mit den Guldinschen Regeln überprüfen: Wobei r doch der Abstand vom Flächenschwerpunkt zur Rotationsachse ist. Nun liegt der Flächenschwerpunkt bei dieser Fläche bei x=10/3 und y=10/3 also: Ich bekomme also über Guldin genau das doppelte Volumen heraus! Wer kann helfen? Wo ist der Fehler? Grüße ES |
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| 02.03.2011, 20:15 | mYthos | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Dein Flächenschwerpunkt stimmt nicht. Dessen x-Koordinate ist 5/3 mY+ |
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| 02.03.2011, 22:31 | ES | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Guten Abend mY+ , das habe ich mir auch schon überlegt aber warum ist der Schwerpunkt falsch? Ich habe ein rechtwinkliges Dreieck mit Breite a=5 und Höhe h=10! Nach den Formeln für den Schwerpunkt ergibt sich: xs=2/3 * a =10/3 und ys=1/3 * h = 10/3 Ich bitte um Aufklärung! Grüße ES |
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| 02.03.2011, 22:44 | abc2011 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Bei Rotation um die y-Achse ist eine andere Fläche volumenerzeugend, als bei Rotation um die x-Achse. |
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| 02.03.2011, 23:08 | mYthos | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Bei der Guldin'schen Regel kann man auch die gleiche Fläche einmal um die x-Achse und einmal um die y-Achse rotieren lassen. Die Fläche, also das Dreieck ist in diesem Fall das gleiche, daher auch der Schwerpunkt, nur das Volumen ändert sich. Einmal ist dessen y-Koordinate und einmal die x-Koordinate maßgebend. [EDIT: Wie später ersichtlich, handelte es sich um ein Mißverständnis hinsichtlich der Lage des Dreieckes] _____________ Nochmals: Du hast den Schwerpunkt falsch berechnet! Die Punkte des Dreieckes sind (0; 0), (0; 10) und (5; 10) Das Dreieck ist "aufgestellt" und liegt mit einer Kathete in der y-Achse. --> xs = (0 + 0 + 5)/3 = 5/3 Oder? [EDIT: Es gab ein Mißverständnis hinsichtlich der Lage des Dreieckes] mY+ |
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| 02.03.2011, 23:55 | ES | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Irgendwie zweifel ich gerade an mir? Was wird mit diesen drei Punkten gemeint? (0; 0), (0; 10) und (5; 10) Ich habe doch (0,0), (5,0), (5,10) (Ich hoffe es war ein Tippfehler, sonst versteh ich das auch nicht) [attach]18432[/attach] Edit (mY+): Link zu externer Uploadseite wurde entfernt. Aber warum geht das nicht mit der Formel x= 2/3 a ??? Ich habe doch hier auch ein rechtwinkliges Dreieck Grüße |
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| 03.03.2011, 00:07 | mYthos | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Bitte keine Links zu externen Uploadseiten! Diese werde ich entfernen. Hänge dieine Grafik an den Beitrag an! _____________ Deine Skizze zeigt mir jetzt ein anderes Dreieck als jenes, von dem ich die ganze Zeit gesprochen habe. Bei diesem lautet der Schwerpunkt so wie von dir angegeben. Dann muss der Fehler woanders liegen, offensichtlich beim Rotationsvolumen um die y-Achse. Die Gerade lautet y = 2x, und das zugehörige Intervall [0; 5], Somit ergeben sich damit die Punkte (0; 0), (5; 0) und (5; 10). Und weil du dieses Dreieck um die y-Achse rotieren lässt und dessen Fläche mit der y-Achse betrachten musst, sind die Genzen 0 und 10 zu nehmen! Wie abc2011 dies sehr zu Recht in seinem letzten Beitrag bemerkt hat! mY+ |
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| 03.03.2011, 08:52 | ES | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Guten Morgen, war wohl gestern ein wenig spät! Da habe ich leider nicht mehr dran gedacht das Bild direkt als Anhang zu posten. Ich zweifel gerade wirklich an mir!!! Laut Formelsammlung gilt für das Volumen einer Figur um Y-Achse: wobei a und b x-Werte sind. Nun frage ich mich warum sollte ich in die Integralgrenzen 0 un 10 schreiben und nicht so wies eigentlich müsste 0 und 5! Bei der Formel mit der Umkehrfunktion muss ich als Grenzen die Funktionswerte an den Stellen nehmen! Also 0 und 10! Aber es kommt bei BEIDEN die Hälfte vom Guldin raus??? |
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| 03.03.2011, 09:37 | abc2011 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Wenn, wie hier, eine Ursprungsgerade bzw. eine Strecke darauf alleine, durch Rotation, einen Rotationskörper erzeugen soll, dann kann die erzeugende Fläche für die beiden Achsen nicht dieselbe sein. |
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| 03.03.2011, 17:34 | ES | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Also ich sehe das anders! Ich habe die Guldinschen Regeln so verstanden: Die Fläche A ist die gleiche nur muss ich eben einmal die x-Koordinate des Schwerpunkts und einmal die Y-Achse des Schwerpunktes nehmen! Ich versteh das ganze nicht 
Dachte das wär recht trivial aber offenbar ist dem nicht so. |
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| 05.03.2011, 12:56 | mYthos | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
@ES Ich habe das anfangs auch so gesehen und mir deswegen einen Widerspruch von abc2011 eingehandelt, wobei er - aus seiner Sicht - auch Recht hat. Deine Ansicht stimmt auch, wenn die Fläche, welche rotieren soll, von vornherein festgelegt, also die Gerade bereits abgehandelt ist. Hat man aber anfangs nur die Gerade, so kann man einmal deren Fläche, die sie mit der x-Achse und einmal die Fläche, die sie mit der y-Achse einschließt, nehmen. Das muss also vorerst geklärt sein. mY+ |
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