Projektion: Punkte "abrollen"?

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flixe Auf diesen Beitrag antworten »
Projektion: Punkte "abrollen"?
Hallo,
ich schreibe übermorgen ein Klausur über die Differentialgeometrie und bin soweit einigermaßen vorbereitet (denke ich).
Es gibt allerdings noch ein paar Ungereimtheiten, die mir nicht ganz klar sind. Dazu zählt unter anderem folgendes:

Ich habe hier diverse Übungsaufgaben, bei denen ich Abbildungsgleichungen aufstellen soll, z.B. wird einer Kugel ein Kegelmantel übergestülpt, der sie in einem bestimmten Breitenkreis tangiert. Nun werden alle Punkte der Kugel entlang ihrer Meridiane auf den Kegelmantel "abgerollt". Mir ist aber nicht klar, was man mathematisch unter diesem "abrollen" versteht. Hat das etwas mit Bogenlänge zu tun?

Kann mir da jemand weiterhelfen bzw weiß jemand, wo es dazu Informationen gibt?

Ich weiß, dass das Problem ohne Skizze etwas schwer zu erkennen ist. Deshalb werde ich später noch ein Foto meines Problems hochladen.
Ehos Auf diesen Beitrag antworten »

Jede topografische Karte ist eine Abbildung eines Teils des Globus auf eine Ebene. In deinem Falle wird der Globus auf einen Kegelmantel abgebildet. (Ein Kegelmatel ist in gewisser Weise äquivalent zu einer Ebene, denn man kann ihn auf eine Ebene ohne "Risse und Falten" abwickeln.)

Diese Abbildung des Globus auf den Kegelmantel geschieht praktisch dadurch, dass man den Globus auf der Innenseite des Kelgelmantels "abrollt" - von der Spitze weg "nach unten". Wiederholt man dieses "Abrollen" für alle 24 Meridiane, so entspeht auf dem Zylindermantel eine Schar von 24 Geraden, die sich in der Kegelspitze vereinigen. Während des Abrollens der Meridiane auf den Kegelmantel bleibt deren Bogenlänge offenbar erhalten. Würde man auch die Breitengrade vom Globus auf den Kegelmantel "abrollen", entstünde auf dem Kegelmantel ebenfalls ein Koordinatennetz (wie vorher die Längen- und Breitengrade auf dem Globus).

Mathematisch wäre dies eine eineindeutige Abbildung des Globus auf einen Zylindermatel (mit Ausnahme der Pole, wo keine Eineindeutigkeit vorliegt).
flixe Auf diesen Beitrag antworten »

Danke für deine Antwort, aber so ganz erklärt das mein Problem noch nicht. Mit mathematisch meinte ich, dass ich den Vorgang des "Abrollens" konkret rechnerisch nicht verstehe.

Ich habe hier nochmal eine Zeichnung hochgeladen:
http://i56.tinypic.com/m8im10.jpg

Die entsprechende Strecke, um die es mir erstmal geht, ist in der Farbe lila eingezeichnet, also die vom Punkt X bzw X~.
Was ich nicht verstehe: Du meintest ja, man verwendet hier zur Berechnung dieser Strecke die Bogenlänge, also:



In der Zeichnung ist für die Länge einfach nur v - v0 eingetragen, wobei v und v0 doch eigentlich nur Winkel sind, oder? Ich kapiere nicht, warum mein Tutor für die Länge der Strecke einfach nur 2 Winkel subtrahieren konnte und die obige Formel gar nicht brauchte. Außerdem sind die Längen von Strecken normalerweise immer durch Winkelfunktionen angegeben also z.B. cos v, sinv etc.

Hoffe meine Frage ist jetzt etwas genauer.
Ehos Auf diesen Beitrag antworten »

Wenn man die Kugel auf dem Kegelmantel "abrollt", dann wählt man zu Beginn den Berührungspunkt beider Flächen als Anfangspunkt. Ausgehend von diesem Anfangspunkt zeichnet man auf der Kugel eine Kurve, entlang derer man abrollen will. Während des Abrollens auf dem Kegel entsteht dort eine "Spur", die man als neue Kurve auffassen kann. Aus mathematischer Sicht ist das Abrollen also eine Abbildung einer Kurve (auf der Kugel) auf eine andere Kurve (auf dem Kegelmantel). Beide Kurven können prinzipiell mit unterschiedlichen Parametern parametrisiert werden. Es ist aber am einfachsten, wenn man in beiden Fällen die Bogenlänge wählt.

Anderes Beispiel:
Wenn man mit dem Finger auf dem Atlas die Bahnstrecke von Berlin nach Rom "entlangfährt", dann entspricht dies einer Kurve auf dem realen Globus. Beide Kurven sind ebenfalls unterschiedlch parametrieisert. Das ist aber unwesentlich, denn man kann durch eine Substitution die Parameter beliebig verändern, ohne dass sich die Kurve ändert.
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