Basistransformationsmatrix

03.03.2011, 11:54

Corny

Basistransformationsmatrix

Meine Frage:
Hallo Zusammen,
habe ein Problem beim Aufstellen einer Basistransformationsmatrix.
Im R^3 seien die Basen A=((1,-1,2),(2,3,7),(2,3,6)) und B=((1,2,2),(-1,3,3),(-2,7,6)).
Jetzt soll ich die Basistransformationsmatrix $\begin{eqnarray*} T_{B} ^{A} \end{eqnarray*}$ bestimmen. Also die Matrix, die einen Vektor der bezüglich A gegeben ist in einen Vektor bzgl. B darstellt

Meine Ideen:
Also nach Definition ist ja.

$\begin{eqnarray*} T_{B} ^{A} = \Phi_{B} ^{-1} *\Phi_{A} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \Phi_{A}=\begin{pmatrix} 1 & 2 & 2 \\ -1 & 3 & 3 \\ 2 & 7 & 6 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \Phi_{B}=\begin{pmatrix} 1 & -1 & -2 \\ 2 & 3 & 7 \\ 2 & 3 & 6 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Stimmt $\begin{eqnarray*} \Phi_{A} \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \Phi_{B} \end{eqnarray*}$ so?

Heißt das dann, dass man einfach die Basisvektoren in $\begin{eqnarray*} \Phi_{A} \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \Phi_{B} \end{eqnarray*}$ einsetzt?

Gruß Corny

03.03.2011, 16:54

hnky

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Zitat:

$\begin{eqnarray*} T_{B} ^{A} = \Phi_{B} ^{-1} *\Phi_{A} \end{eqnarray*}$

was soll $\begin{eqnarray*} \Phi_{B} \end{eqnarray*}$ sein? Die von einer Basis induzierte lineare Abbildung? Sowas existiert nicht.

Ich könnte mir vorstellen, dass du eine Matrix bestehend aus den Basisvektoren der Basis A meinst. Allerdings ist deine Notation so, wie sie da steht, falsch.

Außerdem ist die von dir angegebene Gleichung nicht richtig, abgesehen von Notationsproblemen.

eine Transformationsmatrix ist nichts anderes als selber wieder eine Abbildungsmatrix, nämlich $\begin{eqnarray*} T_B^A(id) \end{eqnarray*}$ .

um die Transformationsmatrix aufzustellen, musst du also bloß eine Abbildungsmatrix aufstellen.

übrigens: $\begin{eqnarray*} (T_B^A(id))^{-1}=T_A^B(id) \end{eqnarray*}$

03.03.2011, 17:30

Corny

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Ich kenne die Möglichkeit $\begin{eqnarray*} T_B^A \end{eqnarray*}$ auzustellen, indem ich die Basisvektoren von A durch Linearkombinationen von B darstlle und die Faktoren Spaltenweise in eine Matrix schreibe.

Ich wollte aber mal eine Transformationsmatrix mit dieser Formel autstellen.

$\begin{eqnarray*} T_{B} ^{A} = \Phi_{B} ^{-1} *\Phi_{A} \end{eqnarray*}$

Sei V ein K-VR mit Basis $\begin{eqnarray*} B=(b_{1} ,..,b_{n}) \end{eqnarray*}$ dann heißt der Isomorphismus
$\begin{eqnarray*} \Phi_{B}:K^{n} \rightarrow V ; (x_{1} ,...,x_{n})\mapsto b_{1} *x_{1}+...+b_{n}* x_{n} \end{eqnarray*}$
auch Koordinatensystem von V bzgl. B

Hab aber keine Ahnung wie ich $\begin{eqnarray*} \Phi_{B} \end{eqnarray*}$ aufstelle. Könntest du mir das mal erklären.

Gruß Corny

03.03.2011, 18:06

hnky

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Zitat:

wenn du das machst, setzt du aber indirekt auch schon eine Identitätsabbildung voraus.

Zitat:

Hab aber keine Ahnung wie ich $\begin{eqnarray*} \Phi_{B} \end{eqnarray*}$ aufstelle. Könntest du mir das mal erklären.

Ich muss sagen, dass ich momentan auch nicht sehe, wie man dann die abbildungsmatrix von $\begin{eqnarray*} \Phi_B \end{eqnarray*}$ aufstellt.

vielleicht kann jemand anders weiterhelfen.

03.03.2011, 18:12

tigerbine

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RE: Basistransformationsmatrix
[Artikel] Basiswechsel

Das Prinzip passt doch. Sobald man in Matrizen notiert, braucht man Basen. Bei den Koordinatenabbildungen geht man von den Standardeinheitsbas aus. Bzgl. der sind ja auch die Koordinatenvektoren der beiden anderen Basen angegeben.

$\begin{eqnarray*} \Phi_A \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \Phi_B \end{eqnarray*}$ folgen also dem gleichen Prinzip.

Was steht bei euch oben, was unten. Also welchen Wechsel möchtest du: Input _______ Output______

03.03.2011, 18:23

Corny

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hey

Ich möchte gerne von der Basis A in die Basis B wechseln?

Gruß Corny

03.03.2011, 18:30

tigerbine

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In dem Artikel steht, wie das geht. Und die Idee mit den Matrizen ist doch der richtige Weg. Augenzwinkern

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