Konvergenzkriterium

03.03.2011, 12:25

jausen123

Konvergenzkriterium

Meine Frage:
$\begin{eqnarray*} \sum\limits_{n=1}^\infty \frac{(-1)^n + n\sqrt{n} }{(n-1)^3} \end{eqnarray*}$

Meine Ideen:
$\begin{eqnarray*} \sum\limits_{n=1}^\infty \frac{(-1)^n + n\sqrt{n} }{(n-1)^3} \end{eqnarray*}$
< $\begin{eqnarray*} \sum\limits_{n=1}^\infty \frac{1+n^3}{(n-1)^3} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \lim_{a \to \infty b} \sum\limits_{n=1}^\infty \frac{1+n^3}{(n-1)^3} = \frac{1}{1} \end{eqnarray*}$

geht das so?

03.03.2011, 12:29

jausen123

Auf diesen Beitrag antworten »

das soll nte Wurzel n sein nicht n*wurzel n
sry

03.03.2011, 15:02

Ibn Batuta

Auf diesen Beitrag antworten »

Edit: Der Vorschlag von mir funktioniert so leider nicht...

Ibn Batuta

03.03.2011, 15:51

Mulder

Auf diesen Beitrag antworten »

So ganz klar geworden ist mir nicht, was du machst...

Die Reihe soll doch wohl auch nicht bei n=1 loslaufen, oder? Da würde der Nenner null werden, das wollen wir ja nicht so gerne haben. Bei der bloßen Frage nach der Konvergenz könnte man das ganze doch erstmal aufteilen:

$\begin{eqnarray*} \sum\limits_{n={\text{who knows }} }^{\infty} \left ( \frac{(-1)^n + \sqrt[n]{n} }{(n-1)^3} \right ) = \sum\limits_{n={\text{who knows }} }^{\infty} \left ( \frac{(-1)^n }{(n-1)^3} \right ) \ + \ \sum\limits_{n={\text{who knows }} }^{\infty} \left ( \frac{\sqrt[n]{n} }{(n-1)^3} \right ) \end{eqnarray*}$

Hier ein bisschen Leibniz, da ein bisschen abschätzen...

03.03.2011, 16:55

jausen123

Auf diesen Beitrag antworten »

Hey, danke für die Antworten.

Habe das jetzt mal mit dem aufteilen probiert.

$\begin{eqnarray*} \sum\limits_{n=who knows}^n \left(\frac{(-1)^{n}}{(n-1)^{3}} \right) \end{eqnarray*}$

Also den ersten Teil der addition kann man ja umschreiben zu:

$\begin{eqnarray*} \sum\limits_{k=whoknows}^n \left((-1)^n * \frac{1}{(n-1)^{3}} \right) \end{eqnarray*}$ , was ja nach dem Leibniz kriterium konvergiert, weil die folge in der Reihe eine Nullfolge ist.

Beim zweiten Teil der addition hab ich aber noch probleme. hab zuerst einmal die n-te Wurzel von n mit n abgeschätzt so das ich dann habe:

$\begin{eqnarray*} \frac{n}{(n-1)^{3}} \end{eqnarray*}$

gekürzt wäre das ganze also:

$\begin{eqnarray*} \frac{1}{n^2 - 3n + 3 -1} \end{eqnarray*}$ , was ja auch konvergiert , also konvergiert auch die gesamte Reihe. Aber ich glaube beim zweiten Teil der Addition reicht das ja noch nicht um die Konmvergenz zu zeigen.

03.03.2011, 17:57

Mulder

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: Konvergenzkriterium

Zitat:

Original von jausen123
Beim zweiten Teil der addition hab ich aber noch probleme. hab zuerst einmal die n-te Wurzel von n mit n abgeschätzt so das ich dann habe:

$\begin{eqnarray*} \frac{n}{(n-1)^{3}} \end{eqnarray*}$

gekürzt wäre das ganze also:

$\begin{eqnarray*} \frac{1}{n^2 - 3n + 3 -1} \end{eqnarray*}$

Am Ende müsste es nicht -1 heißen, sondern -1/n. Übrigens: Man hätte da auch einfacher abschätzen können, zum Beispiel ist

$\begin{eqnarray*} \sqrt[n]{n} < 2 \end{eqnarray*}$

Aber so wie du es gemacht hast, geht's auch.

Zitat:

Original von jausen123
Aber ich glaube beim zweiten Teil der Addition reicht das ja noch nicht um die Konmvergenz zu zeigen.

Was dieser Satz jetzt aussagen soll, müsstest du nochmal erläutern, da kann ich nun wirklich gar nichts mit anfangen.

04.03.2011, 12:26

jausen123

Auf diesen Beitrag antworten »

danke, habs jetzt verstanden!

Neue Frage »

Antworten »

Konvergenzkriterium

Verwandte Themen