Folgen, Reihen, Grenzwerte

03.03.2011, 15:55

gimmead

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Folgen, Reihen, Grenzwerte

Meine Frage:
Hallo, ich habe folgende Frage zu Pyramidenzahlen!

Die Folge lautet: 0,1,5,14,30,55,91,...

Die explizite Ausdrucksweise lautet: $\begin{eqnarray*} \frac{n*(n+1)(2n+1)}{6} \end{eqnarray*}$

Ok, soweit ist es mir klar!

Die zu lösende Aufgabe sieht so aus: Finden Sie die Rekursionsformel?
Welchem Gesetz gehorchen die Folgen der Volumen?
Welches Gesetz gehorchen die Folgen der Oberflächen?

Meine Ideen:
Kann mir bitte jemand ausführlich erklären, wie man am besten bei solchen Aufgaben beginnt bzw. wie sich so eine explizite Ausdrucksform zusammensetzt? Wie man Folgen, rekursive Bildungsgesetze entschärft oder definiert? Die Lösung ist mir hier eigentlich egal, es geht mir mehr um die Herangehensweise!?

Mfg

03.03.2011, 16:00

Pascal95

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Stell dir das mal bildlich vor:

Du hast eine Pyramide und beginnst von oben an zu zählen:
Wie bereits von dir erwähnt, lautet der Beginn: 0,1,5,14 ...

Was fällt dir bei den Differenzen der Folgeglieder auf?

Was bedeutet es (bildlich betrachtet), wenn man sich das nächste Folgeglied anschaut?

Pascal

03.03.2011, 16:17

gimmead

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Es werden die quadratischen Zahlen zusammengezählt. Auf diese Lösung bin ich gerade gekommen. Nur, wie ist die Grundüberlegung dazu und wie kommt bei der expliziten Formel der Bruch dazu?

Ein anderes Beispiel lautete: Wie werden die ungeraden Zahlen dargestellt?
Die Antwort, für die ich eigentlich sehr lange gebraucht habe: 2n-1

Es fiel mir sehr schwer so zu denken, deshalb möchte ich einpaar Tipps und Grundüberlegungen?!

Wie sehen deine Grundüberlegungen zu solchen Aufgaben aus??

Mfg

Die rekursive Formel müsste so aussehen: 1^2+2^2+3^2+4^2+...+n^2

03.03.2011, 16:26

someone[ger]

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Zitat:

Original von gimmead
Die rekursive Formel müsste so aussehen: 1^2+2^2+3^2+4^2+...+n^2

Die Ausdrucksweise ist etwas lang und kompliziert finde ich. Was hälst du allgemeiner hier von:

a_(n) = a_(n-1) + (n)², Mit a_(-1) := 0

Für n = 0 ergibt sich:

a_(0) = a_(-1) + (0)² = 0 + 0 = 0

Für n = 1 ergibt sich:

a_(1) = a_(0) + (1)² = 1

Für n = 2 ergibt sich:

a_(2) = a_(1) + (2)² = 5

und so weiter...

Eine allgemeine, grundsätzliche herangehensweise gibt es eigentlich nicht. Man schaut einfach, wie die einzelnen Folgenglieder aufeinander aufbauen und versucht dann eine Formel zu finden, die darauf passt.

03.03.2011, 16:28

Pascal95

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Nun, am besten überlegt man sich, um was es geht - wie kann man sich das anhand eines Bildes darstellen oder durch einen Gedanken.
Grundsätzliches ist es immer individuell, wie man auf die Lösung solcher Probleme kommt.

Darstellung der ungeraden Zahlen:
- was bedeutet: ungerade - Das weißt du natürlich, aber wie kann man sich das mathematisch vorstellen.
- wie häufig gibt es ungerade Zahlen im Vergleich zu den natürlichen?

Also: Ungerade sind diejenigen, die durch 2 den Rest 1 lassen.
Dazu kann man sagen: ungerade zahlen kommen im abwechselnd mit den geraden vor, wenn man sich die natürlichen Zahlen (0,1,2,3,4..) anschaut.
Irgendwie muss man dann auf eine lineare Fkt. kommen, die die Steigung 2 hat, weil es nur halb so viele ungerade wie natürliche Zahlen gibt (Achtung: Mengenlehre - |N ist gleichmächtig zu |N_ungerade).

Zu den Pyramiden:
Denk erst an eine rekursive Vorschrift. Du hast es ja schon gesagt "immer eine Quadratzahl hinzu".. Wie kann man das mathematisch ausdrücken

Edit: jetzt wurde es ja schon gesagt:
$\begin{eqnarray*} a_n = a(n-1) + n^2 \end{eqnarray*}$

Pascal

03.03.2011, 16:30

gimmead

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@ someone:

Wie bist du jetzt zum Beispiel auf deine allgemeinere Formel gekommen?

Was hast du da genau gemacht: a_(n) = a_(n-1) + (n)^2 und was meinst du mit a_(-1) :=0 ???

Was ich noch nicht ganz verstehe ist diese Ausdrucksweise mit (an)? n ist ein Startwert oder? Gibt dieses "n" mit welcher Zahl ich starte??

Mfg

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03.03.2011, 16:36

Pascal95

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Das ist eine Folge.

Für n setzt man natürliche Zahlen (das sind positive ganze: 0; 1; 2; 3; ...) ein.

Das Ergebnis ist a von n also $\begin{eqnarray*} a_n \end{eqnarray*}$ , ähnlich wie bei einer Funktion.

a(n-1) ist der vorherige Wert, Folgeglied (vgl. Funktionswert).

Das nennt man dann: rekursive Bildungsvorschrift

Edit: siehst du hier:
[attach]18440[/attach]

Man muss eben $\begin{eqnarray*} a_0 \end{eqnarray*}$ definieren, weil das n-te Folgeglied vom n-1-tem Folgeglied abhängt.

03.03.2011, 20:38

gimmead

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@pascal95: dies sind sehr hilfreiche tipps!

Du meinst es also so: $\begin{eqnarray*} a_{n} \end{eqnarray*}$ und für n setzt man natürliche Zahlen ein!

Würde ich das nun auf die ungeraden Zahlen übertragen, würde es so aussehen:

Ich beginne mit 1: $\begin{eqnarray*} a_{1} = (2*1) - 1 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} a_{2} = (2*2) - 1 \end{eqnarray*}$ usw...

bei der schreibweise: wenn $\begin{eqnarray*} a_{n-1} \end{eqnarray*}$ der vorherige Wert ist, dann muss $\begin{eqnarray*} a_{n+1} \end{eqnarray*}$ der nächstfolgende sein?!

Diese Schreibweise sieht man nämlich auch sehr oft!

Mfg

noch eine Frage: das heißt also, wenn man $\begin{eqnarray*} a_{0} \end{eqnarray*}$ definiert, darf ich doch sicher mit dieser schreibweise starten $\begin{eqnarray*} a_{n+1} \end{eqnarray*}$ und ich starte meistens mit n= 0?!

03.03.2011, 20:54

Pascal95

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Genau!

$\begin{eqnarray*} a \end{eqnarray*}$ ist die Folge.

$\begin{eqnarray*} a_n \end{eqnarray*}$ ist das n-te Folgenglied der Folge $\begin{eqnarray*} a \end{eqnarray*}$ , es steht an n-ter Position wenn man eine Liste von ihnen schreibt.

Die ungeraden Zahlen hast du völlig richtig analysiert!
Wenn die Folge a die ungeraden Zahlen beschreiben soll, so kann man das so machen:
[attach]18453[/attach]

Das hast du ja schon so gesagt smile

smile

Und es ist auch völlig richtig, dass $\begin{eqnarray*} a_{n-1} \end{eqnarray*}$ den Wert des (n-1) ten Folgenglieds beschreibt.

Tipp: Vergleiche es einfach mit einer Funktion und lese: a von n, also $\begin{eqnarray*} a(n) \end{eqnarray*}$ .

03.03.2011, 21:01

Pascal95

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Das sind sogenannte rekursive Bildungsvorschriften.

Eine Bildungsvorschrift besagt, wie etwas aufgebaut ist.
Also wie man das z.B. 25. Folgenglied berechnet.

Dazu setzt man 25 ein und rechnet aus.

Diese sogenannten rekursiven Bildungsvorschriften besagen, dass sich der Wert $\begin{eqnarray*} a_n \end{eqnarray*}$ immer von $\begin{eqnarray*} a_{n-1} \end{eqnarray*}$ abhängig ist.

Das heißt kurz: Du brauchst $\begin{eqnarray*} a_{24} \end{eqnarray*}$ , um $\begin{eqnarray*} a_{25} \end{eqnarray*}$ zu berechnen!

Also berechne erstmal $\begin{eqnarray*} a_{24} \end{eqnarray*}$ -> dazu braucht man $\begin{eqnarray*} a_{23} \end{eqnarray*}$ .
Also berechne erstmal $\begin{eqnarray*} a_{23} \end{eqnarray*}$ -> dazu braucht man $\begin{eqnarray*} a_{22} \end{eqnarray*}$ .

usw...

Man kann bei rekursiven Bildungsvorschriften nicht einfach das n-te (z.B. das 25 te) Folgenglied bestimmen. Man braucht immer das vorherige.

Die Werte beziehen sich immer auf das vorherige Folgenglied!

DESWEGEN definieren wir eine Startzahl - irgendwo muss man anfangen, auf das alles weitere aufbaut.

Zum Beispiel: $\begin{eqnarray*} a_0=1 \end{eqnarray*}$ . Dann kann man $\begin{eqnarray*} a_1 \end{eqnarray*}$ mit der Bildungsvorschrift berechnen!

Hoffe, geholfen zu haben!

Pascal

03.03.2011, 21:06

gimmead

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Du hast mir wirklich sehr weitergeholfen! Ich habe noch ein paar Fragen:

Ich verstehe langsam, worum es geht. So gesehen ist mühsam Folgen zu berechnen, da man nicht in der "Mitte" starten kann??

Meine Frage: Ich beziehe dies jetzt auf die obere Grafik mit dem $\begin{eqnarray*} a(n) = a(n-1) + n^2 \end{eqnarray*}$

Ab 3 funktioniert es aber dann nicht mehr, denn (3-1) + 3^2 ist doch 11 und nicht 14??

Ich weiß aber, dass das vorherige Glied 5 ist!

Mfg

03.03.2011, 21:13

Pascal95

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Da hast du was falsch gelesen! Es heißt:

$\begin{eqnarray*} a(n)=a(n-1) + n^2 \end{eqnarray*}$ oder $\begin{eqnarray*} a_n = a_{n-1}+n^2 \end{eqnarray*}$

A von n ist gleich a von n minus 1 plus n quadrat.

Du hast das Distributivgesetz angewandt. Mit a(n-1) ist aber das n minus einte Folgeglied gemeint.

Es entstehen da leicht Missverständnisse.

Du hast ja schon richtig gesagt: Bei rekursiven Folgen darf man nicht irgendwo beginnen.

03.03.2011, 21:16

Pascal95

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Das sieht dann so aus:

[attach]18455[/attach]

Wichtig: a(n-1) bedeutet in dieser Schreibweise:

a(n-1) ist der Wert des Folgenglieds, das vor n kommt.

03.03.2011, 21:21

gimmead

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Ich habs! $\begin{eqnarray*} a(n-1) \end{eqnarray*}$ bezieht sich auf die 5! Ich weiß auch was ich falsch gemacht habe! n sind die natürlichen Zahlen und dürfen nicht in das vorherige oder folgende Glied eingesetzt werden...

Mfg

03.03.2011, 21:54

Pascal95

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Ich weiß nicht, ob du es richtig verstanden hast...

Weißt du, was ich damit meine:
[attach]18458[/attach] ?

03.03.2011, 22:18

gimmead

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Ich habe es verstanden Freude

Freude

Morgen werde ich weiterrechnen...

Vielen Dank für deine Hilfe und deine supertollen Grafiken!

Mfg

03.03.2011, 22:21

Pascal95

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Ja bitte, seht gerne.
Es freut mich immer, wenn man mich lobt smile

smile

Wenn du willst, zeig ich dir, wie man auf die explizite Form kommt, die du am Anfang angegeben hattest. (da wo man noch durch 6 teilt - du weißt schon)

So eine explizite Bildungsvorschrift ist viel schöner: Man kann zu jedem beliebigen x-Wert einen Funktionswert berechnen.

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