Verknüpfungstafel

04.03.2011, 02:30

Adicon

Verknüpfungstafel

Meine Frage:
Hi,

ich hab eine Verknüpfungstafel die ich nicht zusammenbekomme und zwar sieht sie so aus:

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} \cdot & a & b & c & d & e & f \\ a&&c \\ b \\ c & & &d \\ d &&&&&&a \\ e \\ f&&&& b\end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

ich weiß auch das e das neutrale element ist.
So aber wie bekomme ich jetzt die anderen elemente heraus?

Meine Ideen:
ich weiß auch das e das neutrale element ist.
So aber wie bekomme ich jetzt die anderen elemente heraus?

04.03.2011, 03:14

Adicon

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edit: Die Tafel ist eine Gruppe

04.03.2011, 08:02

Mystic

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Zitat:

Original von Adicon
edit: Die Tafel ist eine Gruppe

In der Tat ein jetzt nicht ganz unwesentliches Detail der Angabe... Big Laugh

Ich würde einmal so anfangen, dass wegen $\begin{eqnarray*} fd \ne df \end{eqnarray*}$ die Gruppe jedenfalls nichtabelsch und damit auch nichtzyklisch ist... Insbesondere gibt es daher nur Elemente der Ordnung 1,2 oder 3... Nun hat aber c weder die Ordnung 1, noch 2, also muss es die Ordnung 3 haben... Daraus folgt sofort

$\begin{eqnarray*} cd=dc=e \end{eqnarray*}$

Ferner gilt

$\begin{eqnarray*} ab =c \Rightarrow (df)(fd)=c \Rightarrow df^2d=c \Rightarrow f^2=c^3=e \end{eqnarray*}$

In dieser Art solltest du dann weitermachen, was die restlichen Produkte betrifft...

Edit: Eine ausgesprochen nette Aufgabe übrigens... Ich möchte dir daher auch nicht den Spaß an der Sache zerstören, indem ich dir zuviel an Hinweisen gebe Augenzwinkern

04.03.2011, 10:52

Adicon

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danke für die antwort Augenzwinkern

kannst du mir das: "Insbesondere gibt es daher nur Elemente der Ordnung 1,2 oder 3... Nun hat aber c weder die Ordnung 1, noch 2, also muss es die Ordnung 3 haben... Daraus folgt sofort " ein bisschen näher erläutern am besten mit beispiel oder eine Seite wo das beschrieben ist.

das zweite versteh ich soweit
$\begin{eqnarray*} ab = c \Rightarrow df^2d = c \end{eqnarray*}$

aber wie kommt das den zustande

$\begin{eqnarray*} \Rightarrow f^2 = c^3 \end{eqnarray*}$

?

und stimmt das das Gruppen die eine Primzahl als ordnung haben immer zyklisch also abelsch sind ?

04.03.2011, 11:08

Math1986

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Zitat:

Original von Adicon
"Insbesondere gibt es daher nur Elemente der Ordnung 1,2 oder 3...

Das folgt daher dass die Ordnung eines Elementes stets die Ordnung der Gruppe teilt

Zitat:

Original von Adicon
Nun hat aber c weder die Ordnung 1, noch 2, also muss es die Ordnung 3 haben

Es ist $\begin{eqnarray*} c\neq e \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} c^2\neq e \end{eqnarray*}$ , also muss es Ordnung 3 haben, also $\begin{eqnarray*} c^3= e \end{eqnarray*}$

Zitat:

Original von Adicon
und stimmt das das Gruppen die eine Primzahl als ordnung haben immer zyklisch also abelsch sind ?

Ja, weil dort alle Elemente ausser dem neutralen Element die volle Gruppenordnung haben

04.03.2011, 11:24

Mystic

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Zitat:

Original von Adicon
das zweite versteh ich soweit
$\begin{eqnarray*} ab = c \Rightarrow df^2d = c \end{eqnarray*}$

aber wie kommt das den zustande

$\begin{eqnarray*} \Rightarrow f^2 = c^3 \end{eqnarray*}$
?

Naja, wir kennen doch schon das Inverse von d, nämlich c... Wenn du dann eine Gleichung wie

$\begin{eqnarray*} df^2d = c \end{eqnarray*}$

siehst, bringt dich das denn auf gar keine Idee? verwirrt

04.03.2011, 12:24

Adicon

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Also das bringt mich auf die idee, dass

$\begin{eqnarray*} df^2 = d \Rightarrow dd = c \end{eqnarray*}$

soweit korrekt ?

habe die Tafel soweit

$\begin{eqnarray*} \begin{vmatrix} \cdot &a & b & c & d & e & f\\a &&c&b&f&a& \\ b &&&f&a&b \\ c &&a&d&e&c&b \\ d &b&f&e&c&d&a \\ e &a&b&c&d&e&f \\ f &&&a&b&f \end{vmatrix} \end{eqnarray*}$

ps bin in ca 2 std wieder da muss kurz weg -.-

04.03.2011, 14:30

Mystic

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Zitat:

Original von Adicon
Also das bringt mich auf die idee, dass

$\begin{eqnarray*} df^2 = d \Rightarrow dd = c \end{eqnarray*}$

soweit korrekt ?

Hm, das Ergebis ist zwar korrekt, aber bei deiner Rechnung blick ich nicht durch... verwirrt

Warum nicht einfach so:

$\begin{eqnarray*} dd=c^2c^2=c^3c=ec=c \end{eqnarray*}$

Was die Gruppentafel betrifft, so benutzt du ja hoffentlich, dass ihr "Inneres" ein lateinisches Quadrat bildet, d.h., in jeder Zeile und in jeder Spalte kommt jedes Element genau einmal vor...

04.03.2011, 17:03

Adicon

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hi,

die Hilfe mit der elementen Ordnung ist ein super tipp!
danke nochmal hab die Tafel geknackt

Zu der Ordnung noch eine Frage

Ist bei einer Gruppentafel der Ordnung 4

$\begin{eqnarray*} x = e /oder/ x^2 = e \end{eqnarray*}$

weil es teiler von 4 sind?

04.03.2011, 18:14

Mystic

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Zitat:

Original von Adicon
Zu der Ordnung noch eine Frage

Ist bei einer Gruppentafel der Ordnung 4

$\begin{eqnarray*} x = e /oder/ x^2 = e \end{eqnarray*}$

weil es teiler von 4 sind?

Hm, und warum schließt du den Fall, dass 4 die Ordnung von x ist, von vornherein aus?

04.03.2011, 18:24

Adicon

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weil
$\begin{eqnarray*} x^4 = x^2x^2 \end{eqnarray*}$

oder lieg ich da falsch ?

04.03.2011, 18:52

Math1986

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Zitat:

Original von Adicon
weil
$\begin{eqnarray*} x^4 = x^2x^2 \end{eqnarray*}$

oder lieg ich da falsch ?

Das stimmt schon, aber $\begin{eqnarray*} x^4 = x^2x^2\not\Rightarrow x^2=e \end{eqnarray*}$

Es kann auch den Fall geben dass x die Ordnung 4 hat, in dem Fall wäre diese Gruppe zyklisch und daher bist auf Isomorphie eindeutig bestimmt (betrachte $\begin{eqnarray*} \mathbb{Z}_4 \end{eqnarray*}$ als einen solchen Vertreter, da gilt deine Behauptung nicht)

04.03.2011, 18:52

Mystic

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Zitat:

Original von Adicon
weil
$\begin{eqnarray*} x^4 = x^2x^2 \end{eqnarray*}$

oder lieg ich da falsch ?

Hm, meinst du damit, dass $\begin{eqnarray*} x^4=e \end{eqnarray*}$ nur so zustandekommen kann, dass eigentlich sogar $\begin{eqnarray*} x^2=e \end{eqnarray*}$ gilt und man diese Gleichung nur quadriert?

Wenn das zutreffen sollte, dann liegst du jedenfalls falsch... Z.B. gilt in der Gruppe G={1,2,3,4} mit der Multiplikation mod 5 als Gruppenoperation, dass

$\begin{eqnarray*} 2^2=4 \ne 1, \text{ aber } 2^4=(2^2)^2=1 \end{eqnarray*}$

04.03.2011, 19:26

Adicon

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ja genau das habe ich gedacht aber wer nicht fragt wird ja auch nicht schlauer Augenzwinkern

mal ganz blöd gefragt kann den auch
$\begin{eqnarray*} x^3 = e \end{eqnarray*}$

sein(bei der ordnung 4) ?

und danke für die Hilfe nochmal smile

04.03.2011, 19:29

Math1986

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Zitat:

Original von Adicon
mal ganz blöd gefragt kann den auch
$\begin{eqnarray*} x^3 = e \end{eqnarray*}$

sein(bei der ordnung 4) ?

Nein, die Ordnung eines Elementes ist ja das KLEINSTE n>0 für das $\begin{eqnarray*} x^n=e \end{eqnarray*}$ gilt.

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