Maßtheorie kurzer ?? Beweis

30.11.2006, 08:02

ratskrone

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Maßtheorie kurzer ?? Beweis

Sei $\begin{eqnarray*} (X,m,\mu) \end{eqnarray*}$ ein Massraum uns sei $\begin{eqnarray*} (E_k) \end{eqnarray*}$ eine Folge messbarer Mengen mit $\begin{eqnarray*} E_k \end{eqnarray*}$ konvergiert gegen E von oben.
Beweisen sie falls: $\begin{eqnarray*} \mu(E_1)<\infty \end{eqnarray*}$ , dann gilt:

$\begin{eqnarray*} \lim_{k \to \infty}\mu (E_k)=\mu (E) \end{eqnarray*}$

Hat jemand nen Tipp?

30.11.2006, 08:04

Dual Space

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RE: Maßtheorie kurzer ?? Beweis
Hast du schon irgendeine Idee?

30.11.2006, 08:17

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Grundlegend ist das Verständnis, was diese Mengenkonvergenz

Zitat:

Original von ratskrone
mit $\begin{eqnarray*} E_k \end{eqnarray*}$ konvergiert gegen E von oben.

eigentlich bedeutet. Und wenn man das hat, ist der Rest fast nur Formsache.

30.11.2006, 09:18

ratskrone

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?? Ich versteh nur Bahnhof.

Ich schätz mal dass, das konvergiert von unten bedeutet, dass $\begin{eqnarray*} E_k \in E \end{eqnarray*}$ und, dass zu einem vorgegebenen "Unterschied" ein Index existiert von dem an die $\begin{eqnarray*} E_k \end{eqnarray*}$ sich nicht weiter als "Unterschied" von E unterscheiden. Aber irgendwie weiß ich gar nicht wodurch man den Unterschied beschreiben möchte, geht das mit dem Mass?

30.11.2006, 09:32

Dual Space

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Zitat:

Original von ratskrone
Ich schätz mal dass, das konvergiert von unten bedeutet, dass $\begin{eqnarray*} E_k \in E \end{eqnarray*}$ und, dass zu einem vorgegebenen "Unterschied" ein Index existiert von dem an die $\begin{eqnarray*} E_k \end{eqnarray*}$ sich nicht weiter als "Unterschied" von E unterscheiden. Aber irgendwie weiß ich gar nicht wodurch man den Unterschied beschreiben möchte, geht das mit dem Mass?

Nö ... das ist nicht der Punkt. Erstens konvergiert laut deiner ersten Aussage die (Mengen-)Folge von oben auf E und zweitens sind die Glieder der Folge kein Element von E, sondern Teilmengen.

Ich denke Arthur wollte auf ein Monotoniekriterium hinaus.

30.11.2006, 09:42

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Zitat:

Original von ratskrone
Ich schätz mal dass, das konvergiert von unten bedeutet,

Mit "schätzen" kommst du hier nicht besonders weit, sondern nur mit exakten, klaren mathematischen Begriffen! Die Aussage

Zitat:

Die Mengenfolge $\begin{eqnarray*} (E_k) \end{eqnarray*}$ konvergiert von oben gegen $\begin{eqnarray*} E \end{eqnarray*}$ .

beinhaltet zwei Sachen:

(1) Die Mengenfolge ist monton fallend, d.h., $\begin{eqnarray*} E_1\supseteq E_2\supseteq E_3\supseteq \cdots \end{eqnarray*}$

(2) $\begin{eqnarray*} E = \bigcap\limits_{k=1}^{\infty} ~ E_k \end{eqnarray*}$

D.h., die Definition der Konvergenz ist in keinster Weise vom Maß $\begin{eqnarray*} \mu \end{eqnarray*}$ abhängig.

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30.11.2006, 19:30

ratskrone

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Geht das dann so?

$\begin{eqnarray*} \lim_{k \to \infty} \mu (E_k)=\lim_{k \to \infty}\mu (\bigcap\limits_{k}^{\infty}E_k)=\mu (\lim_{k \to \infty}(\bigcap\limits_{k}^{\infty}E_k) \end{eqnarray*}$

Wenn ja warum darf man den limes und das $\begin{eqnarray*} \mu \end{eqnarray*}$ eigentlich vertauschen?

30.11.2006, 21:20

Dual Space

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Such mal in deinen Vorlesungsmitschriften nach einem Satz, der die von Arthur beschriebenen Voraussetzungen verlangt. Dann sollte es dir wie Schuppen von den Augen fallen. Augenzwinkern

Augenzwinkern

30.11.2006, 22:45

ratskrone

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Wir haben hier ein Lemma, dass so ähnlich aussieht:

Aber in dem Lemma muss die Folge der Mengen in den Lebesguemessbaren Mengen von IR^d sein. Den Beweis für das Lemma hab ich leider auch nicht.

01.12.2006, 09:39

Dual Space

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Na gut. Kann sein, dass ich immer etwas zu kompliziert vorgehe, aber bisher war ich damit immer erfolgreich. Also es gilt:

$\begin{eqnarray*} (E_1\setminus E_n)\uparrow(E_1\setminus E) \end{eqnarray*}$

(mach dir klar warum das so ist!). Betrachte nun die Folge

$\begin{eqnarray*} B_n:=(E_1\setminus E_n)\setminus(E_1\setminus E_{n-1}) \end{eqnarray*}$

Man stellt fest, dass die $\begin{eqnarray*} B_n \end{eqnarray*}$ paarweise disjunkt sind und es gilt

$\begin{eqnarray*} \bigcup_{n=1}^\infty B_n= E_1\setminus E \end{eqnarray*}$ .

Nun gilt aber ( $\begin{eqnarray*} \sigma \end{eqnarray*}$ -Additivität)

$\begin{eqnarray*} \mu(E_1\setminus E)=\sum_{n=1}^\infty \mu(B_n) = \lim_{N\to\infty} \sum_{n=1}^N\mu(B_n)=\lim_{N\to\infty}\mu(E_1\setminus E_N) \end{eqnarray*}$

Jetzt versuch mal weiter zu machen.

01.12.2006, 09:59

Mazze

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Noch zu der Sache von Dualspace, bei vielen Konvergenzaussagen am Anfang wo man noch Sigmalagebren und so weiter rumhantiert klappt es fast immer das man die Folge in eine disjunkte Folge zerlegt und so die Sigmaadditivität des Maßes ausnutzen kann.

Zitat:

Wenn ja warum darf man den limes und das $\begin{eqnarray*} \mu \end{eqnarray*}$ eigentlich vertauschen

Das ist die Aussage die Du Beweisen willst,

$\begin{eqnarray*} \lim_{n \to \infty} \mu(E_n) = \mu(E) \end{eqnarray*}$

heißt nix anderes als

$\begin{eqnarray*} \lim_{n \to \infty} \mu(E_n) = \mu(\lim_{n \to \infty} E_n) \end{eqnarray*}$

01.12.2006, 10:13

AD

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Nicht vergessen sollte man allerdings, dass die Voraussetzung $\begin{eqnarray*} \mu(E_1)<+\infty \end{eqnarray*}$ - oder zumindest $\begin{eqnarray*} \mu(E_n)<+\infty \end{eqnarray*}$ für irgendein $\begin{eqnarray*} n \end{eqnarray*}$ - essentiell ist:

Man denke nur an das Lebesgue-Maß und die Mengen $\begin{eqnarray*} E_n=[n,\infty) \end{eqnarray*}$ mit Grenzwertmenge $\begin{eqnarray*} E = \lim\limits_{n\to\infty} E_n = \emptyset \end{eqnarray*}$ .

01.12.2006, 10:49

ratskrone

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Den Schluss hab ich nun denk ich. $\begin{eqnarray*} \mu (E_1\setminus E)=\mu (E_1)-\mu (E) \end{eqnarray*}$ Auf der anderen Seite macht man das gleich und und verrechnet das dann, dabei geht dann auch $\begin{eqnarray*} \mu (E_1)<\infty \end{eqnarray*}$ ein.

01.12.2006, 11:14

Dual Space

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Eigentlich müsstest du aber noch beweisen, dass die oben definierten $\begin{eqnarray*} B_n \end{eqnarray*}$ wirklich paarweise disjunkt sind, und das $\begin{eqnarray*} \bigcup_{n=1}^\infty B_n=\dots \end{eqnarray*}$ .

01.12.2006, 11:20

ratskrone

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Achso das hab ich einfach geglaubt bzw. "gesehen". Der Schluss ist aber richtig oder?

01.12.2006, 11:33

Dual Space

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Zitat:

Original von ratskrone
Der Schluss ist aber richtig oder?

Ja der Schuluss ist korrekt.

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