Fundamentalmatrix

04.03.2011, 14:44

Gast11022013

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Fundamentalmatrix

Meine Frage:
Hallo, folgende Aufgabe überfordert mich:

Es sei $\begin{eqnarray*} A:\mathbb R\to \mathbb R^{n\times n} \end{eqnarray*}$ stetig und periodisch, es gibt also ein $\begin{eqnarray*} p\in\mathbb R \end{eqnarray*}$ , sodass für jedes $\begin{eqnarray*} t\in\mathbb R \end{eqnarray*}$ die Gleichung $\begin{eqnarray*} A(t+p)=A(t) \end{eqnarray*}$ gilt. Weiter sei $\begin{eqnarray*} Y \end{eqnarray*}$ eine Fundamentalmatrix der Differenzialgleichung $\begin{eqnarray*} y'=A(t)y \end{eqnarray*}$ .

Zeigen Sie:

(i) Für jedes $\begin{eqnarray*} k\in\mathbb Z \end{eqnarray*}$ ist die Abildung $\begin{eqnarray*} Y_k:t\mapsto Y(t+kp) \end{eqnarray*}$ ebenfalls eine Fundamentalmatrix.

(ii) Es gibt eine Matrix $\begin{eqnarray*} B\in\mathbb R^{n\times n} \end{eqnarray*}$ , sodass $\begin{eqnarray*} Y_k=YB^k \end{eqnarray*}$ .

(iii) Ist $\begin{eqnarray*} \lambda \end{eqnarray*}$ ein Eigenwert der Matrix $\begin{eqnarray*} B \end{eqnarray*}$ , so existiert eine Lösung $\begin{eqnarray*} y \end{eqnarray*}$ der gegebenen Differenzialgleichung mit $\begin{eqnarray*} y(t+p)=\lambda y(t) \end{eqnarray*}$ für jedes $\begin{eqnarray*} t\in\mathbb R \end{eqnarray*}$ .

Meine Ideen:
Zu (i):

Da Y Fundamentalmatrix ist, so ist $\begin{eqnarray*} y(t)=Y(t)c \end{eqnarray*}$ allgemeine Lösung der Differenzialgleichung. Einsetzen liefert:
$\begin{eqnarray*} y'=A(t)y=A(t)Y(t)c \end{eqnarray*}$ .

Da A periodisch ist, denke ich, gilt: $\begin{eqnarray*} A(t)=A(t+p)=A(t+kp) \end{eqnarray*}$

Es ist $\begin{eqnarray*} Y_k(t)=Y(t+kp) \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} Y(t)=Y_0(t) \end{eqnarray*}$ ?

Weiter komme ich leider noch nicht.

EDIT:

Ich verbessere mich mal selbst.

Zu (i):

$\begin{eqnarray*} Y'(t+kp)=A(t+kp)\cdot Y(t+kp)=A(t)\cdot Y(t+kp) \end{eqnarray*}$ , das bedeutet doch aber nichts Anderes, als dass $\begin{eqnarray*} Y(t+kp) \end{eqnarray*}$ die DGL löst und somit Fundamentalmatrix ist.

04.03.2011, 16:23

Abakus

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RE: Fundamentalmatrix

Zitat:

Original von Dennis2010
(i) Für jedes $\begin{eqnarray*} k\in\mathbb Z \end{eqnarray*}$ ist die Abildung $\begin{eqnarray*} Y_k:t\mapsto Y(t+kp) \end{eqnarray*}$ ebenfalls eine Fundamentalmatrix.

Hallo,

was musst du hier zeigen, kannst du die Gleichung hinschreiben? Wenn ja, wie lässt sich dann die Voraussetzung der Periodizität anwenden?

Grüße Abakus smile

smile

04.03.2011, 16:24

Gast11022013

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RE: Fundamentalmatrix
Habe das in meinem letzten Beitrag schon versucht, s. Edit.

25.08.2011, 18:55

Gast11022013

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RE: Fundamentalmatrix
Kann mir hier vllt. nochmal jemand helfen?

Bisher habe ich nur Blödsinn produziert.

Bei (i) soll ich doch zeigen:

$\begin{eqnarray*} y=Y_k\cdot c \end{eqnarray*}$ ist eine Lösung der Differentialgleichung - oder?

25.08.2011, 19:26

Gast11022013

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Ich versuche nochmal was:

Kettenregel:

$\begin{eqnarray*} (Y(t+kp)\cdot c)'=Y'(t)\cdot 1\cdot c=Y'(t)\cdot c=A(t)\cdot Y(t)\cdot c \end{eqnarray*}$

Andererseits:

$\begin{eqnarray*} (Y(t+kp)\cdot c)'=A(t+kp)\cdot Y(t+kp)\cdot c \end{eqnarray*}$

Da $\begin{eqnarray*} A(t)=A(t+kp) \end{eqnarray*}$ , müssen also $\begin{eqnarray*} Y(t) \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} Y(t+kp) \end{eqnarray*}$ identisch sein.

Und da $\begin{eqnarray*} Y \end{eqnarray*}$ Fundamentalmatrix ist, ist es auch $\begin{eqnarray*} Y(t+kp) \end{eqnarray*}$ .

Hm, bin mir unsicher, aber was Besseres will mir einfach partout nicht einfallen.

Edit:

Ach, Quatsch, das ist ja oben am Ansatz schon falsch. unglücklich

unglücklich

25.08.2011, 19:47

Gast11022013

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Och, menno.

Seit März ärgert mich diese Aufgabe jetzt schon.

Kann nicht mal jemand einen Tipp geben?

[Entschuldigung fürs Drängeln. Aber vielleicht versteht ihr meine Ungeduld.]

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25.08.2011, 20:21

Gast11022013

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Vielleicht muss ich bei 0 anfangen.

Wie kann eine Abbildung eine Fundamentalmatrix sein?!

Eine solche Abbildung kann man als Matrix schreiben und von der könnte man dann sagen, ob sie Fundamentalmatrix ist. Aber wie sieht diese Matrix aus?

Oder soll man wirklich einfach zeigen, dass Y(t+kp) Fundamentalmatrix ist?

Irgendwie ist mir das nicht klar.

25.08.2011, 20:59

Gast11022013

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Wieder eine Idee - ihr reagiert ja nicht ( :boese smile

smile

Es gilt doch einmal $\begin{eqnarray*} A(t)=\frac{Y'(t)}{Y(t)} \end{eqnarray*}$ .

Wenn $\begin{eqnarray*} Y(t+kp) \end{eqnarray*}$ Fundamentalmatrix ist, gilt doch aber wegen $\begin{eqnarray*} A(t+kp)=A(t) \end{eqnarray*}$ auch

$\begin{eqnarray*} A(t)=\frac{Y'(t+kp)}{Y(t+kp)} \end{eqnarray*}$ , würde ich meinen.

Und ist dann nicht $\begin{eqnarray*} Y(t)=Y(t+kp) \end{eqnarray*}$ , also $\begin{eqnarray*} Y(t+kp) \end{eqnarray*}$ Fundamentalmatrix?

Aber vermutlich kann man nicht einfach so die Annahme treffen...

25.08.2011, 21:15

Ungewiss

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Hey, eine Fundamentalmatrix zeichnet aus, dass sie die Matrix-DGL
$\begin{eqnarray*} \Phi ' = A(t) \Phi \end{eqnarray*}$ erfüllt und in diesem Fall $\begin{eqnarray*} \det \Phi (t) \neq 0\ \ \forall t \in \mathbb R \end{eqnarray*}$

Zu zwei: Du kannst mal $\begin{eqnarray*} B=\Phi(0)^{-1}\Phi(p) \end{eqnarray*}$ ausprobieren und mit der eindeutigen Lösbarkeit von dem MatrixAWP $\begin{eqnarray*} \overline{\Phi} ' = A(t)\overline{\Phi}, \quad \overline{\Phi}(0)=\Phi(p) \end{eqnarray*}$ argumentieren.

Das sind nur ein paar Ideen von mir, ich erhebe keinen Anspruch auf deren Zielführung.

Dein Y ist bei mir Phi.

25.08.2011, 21:20

Gast11022013

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Danke.

Zu (i) weiß ich aber nicht, wie ich das nutzen kann.

Habe nur meine letzte Idee oben hingeschrieben...

Vielleicht meinst du sowas Ähnliches?

25.08.2011, 21:22

Ungewiss

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Meiner Meinung nach ist das was du in deinem ersten Post zu 1 geschrieben hast richtig.

25.08.2011, 21:24

Gast11022013

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Welchen Post von mir meinst Du?

Habe so viele geschrieben...

25.08.2011, 21:26

Ungewiss

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Deinen ersten, also ganz oben den. Und in deinem letzten Beitrag steht das gleiche, nur dass man normalerweise die Multiplikation mit inversen Matrizen nicht mit Bruchstrichen notiert. Und der Schluss auf Y=Y_k ist denke ich falsch.

25.08.2011, 21:30

Gast11022013

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Im allerersten Beitrag hab ichg das mit dem A(t) doch aber gar nicht ausgeführt. Big Laugh

Big Laugh

25.08.2011, 21:35

Ungewiss

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RE: Fundamentalmatrix

Zitat:

Original von Dennis2010
Zu (i):

$\begin{eqnarray*} Y'(t+kp)=A(t+kp)\cdot Y(t+kp)=A(t)\cdot Y(t+kp) \end{eqnarray*}$ , das bedeutet doch aber nichts Anderes, als dass $\begin{eqnarray*} Y(t+kp) \end{eqnarray*}$ die DGL löst und somit Fundamentalmatrix ist.

Ich sehe nicht, was daran falsch ist?

Und 3 müsste mithilfe von 2 auch straightforward sein.

25.08.2011, 21:38

Gast11022013

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RE: Fundamentalmatrix
Ich finde es ja gut, wenn es nicht falsch ist.

Also die Ausgangsdifferentialgleichung ist halt

$\begin{eqnarray*} y'=A(t)\cdot y \end{eqnarray*}$ .

Aber ist es das wirklich schon: Jetzt einfach $\begin{eqnarray*} Y(t+kp) \end{eqnarray*}$ für $\begin{eqnarray*} y \end{eqnarray*}$ einsetzen?

Kommt mir so verdammt einfach vor!
Kanns das sein?!

Naja, (2) und (3) versuche ich lieber morgen in Ruhe, danke für Deine Tipps, die ich mir morgen ansehen werde.

25.08.2011, 22:00

Ungewiss

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Kein Problem und gute Nacht! Vielleicht ist das noch von Interesse http://de.wikipedia.org/wiki/Satz_von_Floquet

Dieses Matrix einsetzen wird dir vielleicht klarer wenn du das Spaltenweise liest, da jede Spalte Lsg der Dgl ist.

25.08.2011, 22:03

Gast11022013

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Danke für den Link.

Wo meinst Du könnte man den brauchen?

Eher bei (2) oder eher bei (3)?

25.08.2011, 22:06

Ungewiss

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Ich glaube gar nicht, habe das zufällig gefunden und damit nochmal überprüft, dass meine Wahl von B hinhaut ; D

25.08.2011, 22:09

Gast11022013

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Okay, morgen mehr dazu von meiner Seite.
Für heute ist Feierabend.

Vielleicht schaust Du ja die Tage nochmal rein, falls ich Fragen habe.

Würde mich freuen!

Wink

Wink

26.08.2011, 16:36

Gast11022013

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Also zu (ii):

Erstmal noch eine Notationsfrage:

Mit $\begin{eqnarray*} \Phi \end{eqnarray*}$ meinst Du $\begin{eqnarray*} Y \end{eqnarray*}$ .

Meinst Du mit $\begin{eqnarray*} \overline{\Phi} \end{eqnarray*}$ dann $\begin{eqnarray*} Y(t+kp) \end{eqnarray*}$ ?

Und definierst Du die Matrix $\begin{eqnarray*} B \end{eqnarray*}$ also als $\begin{eqnarray*} Y(0)^{-1}Y(p) \end{eqnarray*}$ ?

Edit:

Falls dem so ist, habe ich mal ein bisschen ausprobiert:

$\begin{eqnarray*} Y_k=Y\cdot \left(Y(0)^{-1}\cdot Y(p)\right)^k \end{eqnarray*}$

Weiter ist doch

$\begin{eqnarray*} Y(0)^{-1}=Y'(0)^{-1}A(0) \end{eqnarray*}$ sowie $\begin{eqnarray*} Y(p)=A(p)^{-1}Y'(p) \end{eqnarray*}$ ,

würde ich meinen.

Wenn ich das einsetze, erhalte ich jedenfalls

$\begin{eqnarray*} Y_k=Y\cdot \left(Y'(0)^{-1}\underbrace{A(0)A(p)^{-1}}_{=E}Y'(p)\right)^k \end{eqnarray*}$ , da $\begin{eqnarray*} A(0)=A(p) \end{eqnarray*}$ .

Also:

$\begin{eqnarray*} Y_k=Y\left(Y'(0)^{-1}Y'(p)\right)^k \end{eqnarray*}$ .

Weiter komme ich da nicht. Ich sehe nicht, worauf das hinauslaufen soll.
Ein kleiner Wink in die richtige Richtung wäre also toll.

26.08.2011, 19:50

Gast11022013

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Nee, ich verstehe nicht, wieso hier $\begin{eqnarray*} B:=Y(0)^{-1}Y(p) \end{eqnarray*}$ funktioniert.

Kann mir das jemand erklären?

26.08.2011, 20:01

Gast11022013

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Kann man vielleicht auch einfach das so machen:

$\begin{eqnarray*} Y_k=A^{-1}(t)\cdot Y'_k=Y\cdot B^k=A^{-1}(t)\cdot Y'(t)\cdot B^k \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \Leftrightarrow Y'(t)\cdot B^k=Y_k' \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \Leftrightarrow B^k=Y'(t)^{-1}\cdot Y_k' \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} B=\left(Y'(t)^{-1}\cdot Y_k'\right)^{\frac{1}{k}} \end{eqnarray*}$

??

Kann man aber die Matrix A überhaupt invertieren? Ich weiß es nicht. Ich würde aber schon sagen, weil A steht ja für eine Funktion in den $\begin{eqnarray*} \mathbb R^{n\times n} \end{eqnarray*}$ .

Edit:

Ach, das macht ja auch alles schon wieder keinen Sinn, denn das soll ja für alle ganzen Zahlen k gelten und für 0 funktioniert das alles nicht, weils die 0-te Wurzel nicht gibt.

26.08.2011, 20:41

Ungewiss

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Hey, dein B ist nicht Konstant. Ich habe das so gedacht
$\begin{eqnarray*} Y(t+p)e_j\ \mathrm{ und }\ Y(t)Y(0)^{-1}Y(p)e_j \end{eqnarray*}$ erfüllen das AWP
$\begin{eqnarray*} y'=A(t)y\ \mathrm{mit}\ y(0)=Y(p)e_j \end{eqnarray*}$ da dieses eindeutig Lösbar ist, stimmen die beiden Matrizen Spaltenweise überein, also gilt schonmal Y_1=YB, damit müsste man dann auch mit geringem Mehraufwand Y_k=YB^k zeigen können.

26.08.2011, 20:53

Gast11022013

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Wie könnte man denn das nun für alle k zeigen?

Das mit k=1 ist mir jetzt klar, $\begin{eqnarray*} e_j \end{eqnarray*}$ hast Du da ganz willkürlich gewählt oder?

26.08.2011, 20:57

Ungewiss

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Es ist e_j der j-te Basisvektor der Standardbasis des |R^n, also 1<=j<=n.

Mit Induktion könnte man das schonmal für k>=1 zeigen, den IA hast du, den IS kriegst du sicher alleine hin!

26.08.2011, 21:05

Gast11022013

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Letzte Frage:

Woher weißt Du, dass das AWP, das Du gibst, eindeutig lösbar ist?

26.08.2011, 21:07

Ungewiss

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Weil A(t) stetig ist.

26.08.2011, 21:13

Gast11022013

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Ist das Picard-Lindelöf oder ein anderer Satz?

26.08.2011, 21:26

Ungewiss

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Das ist eine Anwendung vom Existenz und Eindeutigkeitssatz für lineare Dgl-Systeme 1. Ordnung und bei dessen Beweis benutzt man wohl Picard Lindelöf oder was entsprechendes.

Siehe zb Hier Seite 3
http://www.uni-due.de/~hn213me/sk/rogge/Ana44.pdf
Oder hier
http://de.wikipedia.org/wiki/ Lineare_ge...u<br /> tigkeit

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