Ableitung einer E-Funktion mit gebrochenenm Exponent

30.11.2006, 08:15

Mastermaxi1

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Ableitung einer E-Funktion mit gebrochenenm Exponent

Hi Leute,
ich habe jetzt mal ne Frage bin schon seit ner Woche krank, hab demnach auch schon 5 LK Stunden Mathematik verpasst.Nun gut des ist ja nicht weiter schlimm, aber jetzt haben wir Probe Klausuren von unserem Lehrer bekommen und eine check ich gar net.Ich schreib einfach mal die Aufgabenstellung hin die ich net check.

Gegeben ist eine Funktionenschar f k(x)= (2x+k)*e^-x/k mit k>0. Der Graph f k wird mit Gk bezeichnet.

So dann die zweite Aufgabe ist.Bestimmen sie Lage und Art des Extrempunktses von Gk. Zeigen sie das Gk einen Wendepunkt hat und geben sie dessen Koordinaten an.

Naja ich weiß schon was tun: Ableiten nur wie machtman das mit gebrochenem Exponenten? Wäre cool wenn mir das jemand erklären könnte danke !

30.11.2006, 08:26

MI

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Ich nehme einmal an, das hier ist deine Funktion:
$\begin{eqnarray*} f_k(x)=(2x+k)\cdot e^{-\frac{x}{k}} \end{eqnarray*}$

Du leitest ab wie bei immer (Stichwort Kettenregel)! Lass dich nicht von dem k unter dem Bruchstrich irritieren. Versuch's mit Ketten- und Produktregel und poste einfach mal dein Ergebnis.

Überleg aber genau: Welche Variable musst du ableiten? (dann ist der Exponent auch nicht mehr so schwierig.

Gruß
MI

30.11.2006, 08:37

mastermaxi1

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Warum Kettenregel? Man kann doch auch mit der Quotitentenregel ableiten oder? Also das mit dem Ergebnis ist so ne Sache ich schreib mal ein welches ich rausbekommen habe ich bin mir aber sicher , dasss es net stimmt sonst würde ich ja net fragen!Wäre net wenn du mir dann helfen könntest.
Also Ergebnis der Ableitung von e^-x/k ist bei mir 1/k (e^x)^1-k/k*e^-x/k

30.11.2006, 08:38

mastermaxi1

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wie schreibst du den term so dass er so dransteht wie bei dir?

30.11.2006, 08:53

mYthos

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1.
Wo siehst du einen Quotient in jener Variablen, nach der abzuleiten ist?
$\begin{eqnarray*} \frac{x}{k} \end{eqnarray*}$ soll dich NICHT irritieren, hat dir MI schon ans Herz gelegt! Was ist k in Bezug auf x?

2.
Mit LaTex
(auf das f(x) klicken, um Latex-Code einzufügen)

Wenn du auf "Formeleditor" klickst, siehst du ein paar Grundbefehle ...

mY+

30.11.2006, 09:00

mastermaxi1

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Naja wenn ich die Formel dran stehen hab, dann steht ja da (2x+k)/e^x/k des ist meiner meinung nach ein Quotient oder net?Aber des hilft mir alles net wieter weil ich komm net drauf wie maN DES ableitet. Es wäre halt net schlecht, das einer mir mal die erste Ableitung sagt bzw. den ersten Schritt

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30.11.2006, 09:04

mYthos

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RE: Ableitung einer E-Funktion mit gebrochenenm Exponent
Wieso kommst du mit DIESER Angabe

Zitat:

Original von Mastermaxi1
..
Gegeben ist eine Funktionenschar f k(x)= (2x+k)*e^-x/k mit k>0. Der Graph f k wird mit Gk bezeichnet.

auf den Bruch? MI hat das doch auch in LaTex geschrieben, das ist doch ein Produkt! Oder stimmt die Angabe jetzt nicht???

Bitte erst DAS klarmachen, bevor wir im Kreis rennen!

mY+

30.11.2006, 09:14

mastermaxi1

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Ja das ist richtig das ist ein Produkt aber wenn ich einen negativen Exponenten habe darf ich ihn doch in den Nenner schreiben, damit er positiv wird oder net?Die Angabe stimmt schon!!

30.11.2006, 09:25

mYthos

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OK, war ein Mißverständnis, sorry!
Du KANNST daraus einen Bruch machen, musst aber nicht (dann wär's die Produktregel!).

Aber machen wir das mal.

Du möchtest also

$\begin{eqnarray*} f(x) = \frac{2x + k}{e^{\frac{x}{k}}} \end{eqnarray*}$

nach x ableiten.

Dann ist der erste Schritt die Bruchregel; danach ist noch zu beachten, dass im Exponent von e nicht nur x alleine steht.

Wie lautet nun dein Vorschlag?

30.11.2006, 09:32

mastermaxi1

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Wo bekommeich den diesen LaTex her weil dann kann ich des auch mal in übersichtlicher Form schreiben?

30.11.2006, 09:35

mYthos

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Mit LaTex
(auf das f(x) klicken, um Latex-Code einzufügen)

Wenn du auf "Formeleditor" klickst, siehst du ein paar Grundbefehle ...

(hab' ich dir oben schon geschrieben ..)

Wenn'st auf "Zitat" gehst, siehst, wie die anderen das geschrieben haben.

30.11.2006, 09:47

mastermaxi1

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Also meine Lösung ist:

(2e^ \frac{x}{k} -(2x+k)*\frac{1}{k}(e^x)^ \frac{1-k}{5}*e^ \frac{-x}{k})
und im Nenner steht
(e^\frac{x}{k})^2

30.11.2006, 09:54

mastermaxi1

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Also nochmal
$\begin{eqnarray*} f(x) =(2e^ \frac{x}{k} -(2x+k)*\frac{1}{k}(e^x)^ \frac{1-k}{k}*e^ \frac{-x}{k}) \end{eqnarray*}$
und im Nenner steht:
$\begin{eqnarray*} f(x) =(e^\frac{x}{k})^2 \end{eqnarray*}$

30.11.2006, 09:55

mastermaxi1

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ist das soweit richtig naja ich werds schon noch lernen mit Latex .Wenn net bitte verbessern!!!

30.11.2006, 10:06

mYthos

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Der zweite Teil des Zählers stimmt nicht - zu kompliziert gedacht!
Die Ableitung von

$\begin{eqnarray*} e^{\frac{x}{k}} \end{eqnarray*}$ lautet einfach $\begin{eqnarray*} \frac{1}{k} \cdot e^{\frac{x}{k}} \end{eqnarray*}$ . Die e-Funktion bleibt gesamt erhalten, es wird - nach der Kettenregel - nur noch mit der inneren Ableitung multipliziert, und diese ist konstant $\begin{eqnarray*} \frac{1}{k} \end{eqnarray*}$ .

sonst ist's OK. Beachte jedoch, dass du dann noch den ganzen Bruch durch $\begin{eqnarray*} e^{\frac{x}{k}} \end{eqnarray*}$ kürzen kannst. Das ist eben der Nachteil, dass du eingangs einen Bruch daraus gemacht hast.

Du kannst es (zur Kontrolle) ja auch noch mit der Produktregel versuchen.

Wie immer du das rechnest, es muss

$\begin{eqnarray*} f '(x) = e^{-\frac{x}{k}} \cdot \frac{k - 2x}{k} = \frac{k - 2x}{k \cdot e^{\frac{x}{k}}} \end{eqnarray*}$

werden.

mY+

30.11.2006, 10:13

mastermaxi1

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okay danke wenn ich noch fragen hab melde ich mich wieder

30.11.2006, 10:15

mYthos

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sh. noch mein EDIT, da steht noch das Ergebnis.

mY+

30.11.2006, 10:21

mastermaxi1

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Zitat:

Original von mYthos
sh. noch mein EDIT, da steht noch das Ergebnis.

mY+

ok danke naja gut die zweite ableitung dann wieder mit Quotientenregel oder?Ich schicke dann mal das Ergebnis von der zweiten und vielleicht stimmts ja dann mit deinem überein. Muss der zweite Teil des Nenners dann heißen
$\begin{eqnarray*} -(2x+k)*\frac{1}{k}e^x*e^- \frac{x}{k} \end{eqnarray*}$

30.11.2006, 10:24

mYthos

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Auch die zweite Ableitung kannst du wieder entweder mit der Produkt- oder der Quotientenregel ausführen.

Meiner Ansicht nach ist's mit der Produktregel einfacher.

Den konstanten Faktor $\begin{eqnarray*} \frac{1}{k} \end{eqnarray*}$ nach vorne ziehen!

mY+

30.11.2006, 10:28

mYthos

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Zitat:

Original von mastermaxi1
...
Muss der zweite Teil des Nenners dann heißen
$\begin{eqnarray*} -(2x+k)*\frac{1}{k}e^x*e^- \frac{x}{k} \end{eqnarray*}$

Nein, da ist ein $\begin{eqnarray*} e^x \end{eqnarray*}$ zuviel! (2. Teil des Zählers!)
Und das Minus im Exponenten bei $\begin{eqnarray*} e^{\frac{x}{k}} \end{eqnarray*}$ gehört auch nicht hin!

30.11.2006, 10:31

mastermaxi1

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kann man dann sagen dass man wenn man eine E-Funktion ableitet, immer nur das ableitet was im Exponenten steht und den Rest einfach übernimmt wie er da steht folglich müsste rauskommen:

$\begin{eqnarray*} -(2x+k)*\frac{1}{k}*e^- \frac{x}{k} \end{eqnarray*}$

30.11.2006, 10:47

mYthos

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Der Exponent von e ist doch positiv und das bleibt er dann bei der Ableitung auch! Ansonsten OK.

30.11.2006, 10:55

mastermaxi1

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Also ich habe des jetzt mal nachgererechnet komme aber auf ne andere Lösung, weil ich net versteh wie das -2x zustande kommt!!

Meine Lösung ist u=(2x+k) v= $\begin{eqnarray*} e^- \frac{x}{k} \end{eqnarray*}$
u´= 2 v´= $\begin{eqnarray*} \frac{1}{k}*e^\frac{-x}{k} \end{eqnarray*}$
Dann halt die Produktregel anwenden und dann kommt bei mir raus:
$\begin{eqnarray*} \frac{2x+3k}{k*e^{\frac{x}{k}}} \end{eqnarray*}$

30.11.2006, 11:00

mastermaxi1

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Zitat:

Original von mYthos
Der Exponent von e ist doch positiv und das bleibt er dann bei der Ableitung auch! Ansonsten OK.

Der Expoent ist doch negativ . siehe Ursprungsgleichung

fk(x)= $\begin{eqnarray*} (2x+k)*e^\frac{-x}{k} \end{eqnarray*}$

30.11.2006, 11:00

mYthos

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Bei v' fehlt das Minus davor.

Zitat:

Original von mastermaxi1
...
Der Exponent ist doch negativ . siehe Ursprungsgleichung

$\begin{eqnarray*} f_k(x)=(2x+k)*e^\frac{-x}{k} \end{eqnarray*}$

Aber nicht, wenn du die Funktion als Bruch mit der Quotientenregel ableitest.
Du musst dich entscheiden, wie nun ...

30.11.2006, 11:04

mastermaxi1

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Jetzt bin ich ein wenig verwirrt warum musst denn da jetzt auf einmal ein Minus davor, aber Danke Top Hilfe da braucht man keinen Lehrer mehr .Ich bedanke mich!!

30.11.2006, 11:05

mYthos

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Ganz einfach: Bei der Produktregel hat's ein Minus, bei der Quotientenregel nicht.

30.11.2006, 11:16

mastermaxi1

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aber wenn ich den Term mal entschachtel dann sieht des ja so aus!

$\begin{eqnarray*} (e^-x)^ \frac{1}{k} \end{eqnarray*}$
oder? und dann ziehe ich ja nur den äußeren Exponenten vor und lass den Rest dann ja wieder stehen
Also wäre das $\begin{eqnarray*} \frac{1}{k}*e^ \frac{-x}{k} \end{eqnarray*}$
und woher dann das Minus vor dem $\begin{eqnarray*} \frac{1}{k} \end{eqnarray*}$

30.11.2006, 11:30

mYthos

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Wenn du das Minus im Exponenten bei e stehen hast, musst du wegen der Kettenregel noch mit (-1) multiplizieren!!

Nur e^x gibt zur Ableitung wieder e^x, alles andere im Exponenten muss der Kettenregel unterzogen werden.

mY+

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