Rekonstruktion einer x²-Gleichung aus drei Punkten

04.03.2011, 16:22	Christian_P	Auf diesen Beitrag antworten »
Rekonstruktion einer x²-Gleichung aus drei Punkten Ich bin gerade dabei mich wieder etwas genauer mit Funktionen und dergleichen zu beschäftigen, und habe in meinem alten Mathebuch folgende Aufgabe gefunden, bei der ich den Ansatz nicht so richtig finden kann. Die quadratische Funktion f mit dem Term f(x)=ax² + bx + c hat die Nullstellen -1 und 3 An der Stelle 0 hat f den Wert 3 Bestimme die Parameter a, b und c Eigentlich recht einfach mögt ihr jetzt denken?! Also ich weis, dass das Absolutglied hier 3 ist, weil einer der Punkte (0;3) ist. Aus den beiden Nullstellen könnte ich die Funktion als Linearfaktordarstellung schreiben, aber ich denke, dann entspricht sie nicht mehr der gesuchten Funktion, weil ich a(den Stauchungs-Streckungsfaktor) nicht mit drinnen habe. Vielleicht könnte das Additionsverfahren irgendwie helfen, aber ich finde nicht den richtigen Ansatz. Könntet ihr mir helfen? Gruß, Christian
04.03.2011, 16:25	tigerbine	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Rekonstruktion einer x²-Gleichung aus drei Punkten Hey, also deine Ideen sind doch gar nicht so schlecht. Beginne mit den Linearfaktoren. Dann hast du $\begin{eqnarray} p_2(x)=a(x-3)(x+1) \end{eqnarray}$ Nun multipliziere aus und nutze das Wissen über das Absolutglied. Alternativ: Setze x=0 ein und bestimme dann a, denn du weißt ja, was rauskommen soll. Fertig.
04.03.2011, 17:33	Christian_P	Auf diesen Beitrag antworten »
oh danke für die schnelle Hilfe! hab mal was probiert; $\begin{eqnarray} y = a(x-3)(x+1) \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} y = a(x²-2x-3) \end{eqnarray}$ nach einsetzten von P(0;3) $\begin{eqnarray} 3 = a(-3) \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} -1 = a \end{eqnarray}$ dann hab ich $\begin{eqnarray} f(x) = -1(x²-2x-3) \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} f(x) = -x²+2x+3 \end{eqnarray}$ also die Funktion stimmt, aber ich bin mir nicht sicher, ob das so richtig ist, da ich den ganzen Term mit -1(das a) multipliziert habe.
04.03.2011, 18:46	tigerbine	Auf diesen Beitrag antworten »
Variante 1 $\begin{eqnarray} y = a(x-3)(x+1) \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} y = ax²-2ax-3a \end{eqnarray}$ <--- wichtig => a=-1 Variante 2 $\begin{eqnarray} 3 = a(0-3)(0+1) \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} 3 = -3a \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} a=-1 \end{eqnarray}$ Macht am Ende $\begin{eqnarray} y=-1(x-3)(x+1) = -x^2+2x+3 \end{eqnarray}$ Passt also.
07.03.2011, 10:30	Christian_P	Auf diesen Beitrag antworten »
ich hab noch ne weitere Möglichkeit herausgefunden auf Grundlage der drei Punkte und der Normalform $\begin{eqnarray} f(x) = ax²+bx+c \end{eqnarray}$ wenn man die einzelnen Punkte in die Normalform einsetzt und $\begin{eqnarray} c = 3 \end{eqnarray}$ ist, dann hat man P(-1;0) 1.) $\begin{eqnarray} -3 = a - b \end{eqnarray}$ mal 3 und Gleichung 1. + Gleichung 2. P(3;0) 2.) $\begin{eqnarray} -3 = 9a + 3b \end{eqnarray}$ dadurch ist b eliminiert $\begin{eqnarray} -12 = 12a \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} -1 = a \end{eqnarray}$ einsetzen in Gleichung 1.) -> umstellen nach b 1.) $\begin{eqnarray} -3 = a - b \end{eqnarray}$ 1.) $\begin{eqnarray} -3 = (-1) - b \end{eqnarray}$ 1.) $\begin{eqnarray} 2 = b \end{eqnarray}$ a = -1, b = 2 und c war = 3 dann haben wir $\begin{eqnarray} f(x) = -x²+2x+3 \end{eqnarray}$ durch diese Methode ist man nicht von den Nullstellen abhängig und kann beliebiege Punkte nehmen danke für deine Hilfe tigerbine Gruß, Christian
07.03.2011, 23:20	tigerbine	Auf diesen Beitrag antworten »
Naja, ist nicht so, dass die Methode neu wäre. Du hattest aber ein Beispiel angegeben, wo man die Nullstellen nutzen sollte, um sich das Leben leichter zu machen. Wenn dich mehr interessiert: [Artikel] Steckbriefaufgaben [Polynome aus versch. Eigenschaften ] [WS] Polynominterpolation - Theorie [Polynome aus viiiiiielen Punkten] Denn wenn man deinen (neuen) Weg geht, sollte man sich auch über einen schönen Lösungsalgorithmus für das LGS informieren. Ohne den wird es schon bei 4x4 Matrizen "eklig". Gruß
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14.03.2011, 15:42	Christian_P	Auf diesen Beitrag antworten »
nein ist nicht meine Erfindung danke für die tollen links Gruß, Christian
14.03.2011, 15:49	tigerbine	Auf diesen Beitrag antworten »
Aber ist es schön, selbst auf was zu kommen.

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