quadratische gleichung

04.03.2011, 16:25

Pablo

quadratische gleichung

löse folgende gleichung auf möglichs teinfacher weise:

x² - 100 = 0

ist das jetzt hier eig ne normale quadrtische gleichung?
meine idee wäre:

x² = 100 wurzel ziehen

x = 10

ist das so erlaubt?

04.03.2011, 16:26

Equester

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Sehr gut!

So ists am einfachsten zu lösen Augenzwinkern

Du hast auf beiden Seiten das gleiche gemacht (Äquivalenzumformung) -> ist erlaubt.

04.03.2011, 16:27

tigerbine

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Zitat:

Original von Equester
Sehr gut! Freude

Wirklich? x=-10 löst das ja auch ...

04.03.2011, 16:27

Iorek

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Aber leider ist die Lösung noch nicht vollständig. Ob das wirklich der einfachste Weg ist? Ich finde die Faktorisierung mit Hilfe der dritten binomischen Formel einfacher, aber das ist wohl Anssichtssache.

04.03.2011, 16:28

Equester

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Zitat:

Original von tigerbine

Zitat:

Original von Equester
Sehr gut! Freude

Wirklich? x=-10 löst das ja auch ...

Tatsache :P

Dir ist klar warum, Pablo? Augenzwinkern

04.03.2011, 16:29

Pablo

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okay machen wir weiter:

3x² - 27 = 0

x² - 9 = 0

x² = 9

x = 3

aber das ist ja keine qudratische gleichung in dem sinne, oder? dachte man löst quadratische gleichungen immer mit pq?? und es muss eine normalform haben unswar

x² + ax + b = 0

oder wie ist das zu verstehen?

04.03.2011, 16:29

tigerbine

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Zitat:

Original von Equester
Du hast auf beiden Seiten das gleiche gemacht (Äquivalenzumformung) -> ist erlaubt.

Da solltest du auch noch was zu sagen, Equester. Augenzwinkern

04.03.2011, 16:32

Equester

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Danke, tigerbine. Das wollte ich grad im Anschlussmachen Augenzwinkern

Wollte draufhinweisen, dass das gerade hier nicht der Fall ist^^
Um darauf einzugehen:
Das Wurzel ziehen einer Gleichung ist keine Äquivalenzumformung.
Gerade weil es dann zu zwei Lösungen kommt (kommen kann), wie hier der Fall.

@Pablo: Mit den neuen Hinweisen musst du auch die neue Aufgabe überdenken.

Zu deiner anderen Frage aber: Du musst nicht mit der pq-Formel
arbeiten. Es gibt viele Möglichkeiten eine quadratische Gleichung zu lösen.
Diese wird zumeist als einfachste Möglichkeit gesehen. Wenns aber Spezialfälle
wie im Moment sind, dann ist es sinnvoll mit anderem zu arbeiten Augenzwinkern

Aber auch jetzt kannst du die pq-Formel nutzen. a (oder p) ist halt 0^^

04.03.2011, 16:34

Pablo

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wieso ist wurzelziehen keine Equivalenzumformung? :P

04.03.2011, 16:39

Equester

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Auch wenn ich Equester heiße, heißt es Äquivalenzumformung Big Laugh

Da mir mit der Wurzel gerade kein Beispiel einfällt, eins mit dem Quadrieren (die
Umkehrung) die auch keine Äquivalenzumformung ist Augenzwinkern

$\begin{eqnarray*} \sqrt{1-x}=-1 |^2 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} 1-x=(-1)^2=1 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \to x=0 \end{eqnarray*}$

Setze es oben ein, du wirst sehen, dass das nicht simmt Augenzwinkern

-> keine Äquivalenzumformung.
Deshalb nach dem Potenzieren und Wurzelziehen immer eine Probe machen!

04.03.2011, 16:41

Pablo

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check ich gerade irgendwie nicht, aber egal. wird schon okay sein, ich merk mir einfach, dass wurzelziehen keine Equivalenzumformung ist und man immer ne probe machen muss smile

okay, heißt das jetzt, dass bei diesen aufgaben 2 ergebnisse jeweils rauskommen?

04.03.2011, 16:43

Equester

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Äquivalenz... Big Laugh

Hmm, ists ein bestimmter Teil oder alles?^^ Sonst frag gern nochmals nach.
Wenn nicht ich, haben vllt die anderen eine bessere Wortwahl.
Oder einfach die Merkregel: Immer Probe!

Ja in beiden Aufgaben hast du mehr als ein Ergebnis smile

04.03.2011, 16:47

Pablo

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ne ich versteh schon, also in dem moment wo die wurzel gezogen wird, splittet es sich zu ergenissen, diese beiden muss man zur probe einsetzen, weil Wuzel ziehen keine Äquiv. umormung ist und das bedeutet, es gibt 2 ergebnisse + wurzel ergebnis; - wurzel ergebnis. Diese nun einsetzen in die Ausgansgleichung und, das was passt, ist das richtige.

So meinst du?

04.03.2011, 16:47

Calvin

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Na dann probiere ich mal, ob ich die richtigen Worte finde:

Zitat:

Original von Pablo
dass wurzelziehen keine Equivalenzumformung ist und man immer ne probe machen muss smile

Nein, beim Wurzelziehen ist keine Probe notwendig. Die Probe ist beim Quadrieren notwendig.

Grund:
Beim Quadrieren könne falsche Lösungen dazukommen (siehe Equesters Beispiel).

Beim Wurzelziehen kann man durch Unachtsamkeit aber richtige Lösung verlieren. Wenn du an der Stelle

$\begin{eqnarray*} x^2=100 \end{eqnarray*}$

bist und im nächsten Schritt die Wurzel ziehst, erhälst du

$\begin{eqnarray*} x_{1,2}=\pm\sqrt{100} \end{eqnarray*}$

In deinen beiden Aufgaben oben hast du die Lösung mit negativem Vorzeichen "verloren".

04.03.2011, 16:48

Equester

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Edit:
Ich sehe Calvin hat sich die Mühe gemacht,
danke Freude

04.03.2011, 16:51

Pablo

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aha aha aha, okay

check zwar immer noch nicht wieso, aber egal, ich weiß was zu tun ist und wie man es machen muss.

gehen wir zu der aufgabe von vorhin zurück

3x² -27 = 0

x² - 9 = 0

x= + - Wurzel aus 9 <--- so meint ihr das, right?

x1 = 3
x2= -3

04.03.2011, 16:55

Equester

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Yup genau! Augenzwinkern

Lies dir Calvins' Thread später vllt nochmals durch Augenzwinkern

Vllt kommt dann der Aha-Effekt smile

04.03.2011, 16:57

Pablo

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ich glaube mit dieser wurzelgeschichte liegt der grund darin, dass auch ne negative zahl, nen gleichen ''potenzfaktor'' ergeben kann, wie die selbe positive, oder?
da liegt doch der hund begraben, oder?

04.03.2011, 16:57

tigerbine

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Optische Motivation.

04.03.2011, 16:59

Equester

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Deine Frage ist mit tigerbines Bild beantwortet?

Edit: Lol -> in der Vorschau sind tigerbines und Pablos Beiträge vertauscht^^

04.03.2011, 17:01

Pablo

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ja hmm kein plan, sieht schon in etwas so aus, aber ich kenne mich diesen funktionen noch nicht aus. ist das nächste thema smile

okay wichtige frage:

kann ich mir das IMMER so merken, dass wenn ich ne Wurzel ziehe, ab diesem Zeitpunkt IMMER 2 Ergebniss gibt? oder gibt es wieder ausnahmen etc?

04.03.2011, 17:06

Equester

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Es geht um die Schnittpunkte. Aber wenn du das nicht kennst...

Einfaches Gegenbeispiel:

$\begin{eqnarray*} x²=-1 \end{eqnarray*}$

Wie viele Lösungen kannst du erkennen?

04.03.2011, 17:08

Pablo

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hmm

gar keine?

x² ist ja potenziert und das ergebis soll -1 sein. wie soll man da dran kommen, ohne die wurzel zu ziehen und das geht ja widerrum nicht aus ner negativen zahl, oder verwirrt

*kopfkratz*

04.03.2011, 17:10

Equester

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Es ist auch ein Gegenbeispiel Augenzwinkern

Es gibt nicht immer zwei Lösungen (zumindest nicht für dich Big Laugh

)

Ein anderes Beispiel wäre hier:
x²=0

Nun gut, man kann sagen $\begin{eqnarray*} x_1=+0 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} x_2=-0 \end{eqnarray*}$ , aber im Endeffekt nur eine Lösung Augenzwinkern

Das "immer" kannst du also nicht nehmen.

04.03.2011, 17:12

Pablo

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aha aha, wie soll ich mir das jetzt merken?

also sobald die wurzel gezogen wird, muss ich aber splitten in + - und dann je nachdem gibt es zwei, eine oder keine lösung. kann man das so sagen?

04.03.2011, 17:14

Equester

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Ja, so kannsts dir mal merken -> $\begin{eqnarray*} \pm \end{eqnarray*}$ beachten, der Rest ergibt sich ja Augenzwinkern

04.03.2011, 17:16

Pablo

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also sobald die wurzel gezogen wird + - beachten, rest ergibt sich?

kann ich das so eintragen in mein Büchlein?

04.03.2011, 17:17

Equester

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Yup

Dann kannst du es gleich bei ein paar Aufgaben anwenden?

04.03.2011, 17:19

Pablo

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okay

-x² - 16 = 0

-x² = 16

und jetzt

$\begin{eqnarray*} -x^{} = \pm \sqrt{16} \end{eqnarray*}$

genau das ist der punkt, richtig?

04.03.2011, 17:22

Equester

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Beachte. Wie hast du die Wurzel gezogen?
Du hast mal das Minus unter den Tisch fallen lassen?^^
Man sieht es sicher besser, wenn man hier mit -1 multipliziert:

-x² = 16

04.03.2011, 17:26

Pablo

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hmm komisch, also bin wieder verwirrt *lol*

kommen jetzt doch keine 2 ergenisse raus?

okay su sagt ich soll mit -1 multi. versteh ich dann ändert sich das vorzeichen und an der gleichung selber eig nichts. also

-x = -4 |* (-1)

x = 4

so meinst di? aber wo ist jetzt dieser wurzelschritt mit den beiden ergebnissen hingefallen?

04.03.2011, 17:32

Equester

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Schau nochmals genau hin, bei welchem Schritt ich eine Multiplikation wünsche! Augenzwinkern

04.03.2011, 17:41

Pablo

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nochmal

x² - 16 = 0

-x² = 16 | * (-1)

x² = + - Wurzel aus -16

so?

04.03.2011, 17:42

Equester

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Genau