LGS mit 2 Parametern

04.03.2011, 18:05	koreks	Auf diesen Beitrag antworten »
LGS mit 2 Parametern Hallo... ich habe eine Frage bezüglich einer Klausuraufgabe. Entscheiden Sie, für welche a, b € R das Gleichungssystem $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix} a³ & -1 & a² & \| & 0 \\ a² & -1 & a-1 & \| & b\\ a & -1 & 1 & \| & 1\end{pmatrix} \end{eqnarray}$ (i) keine Lösung (ii) genau eine Lösung (iii) mehr als eine Lösung besitzt und geben im Fall (iii) die Lösungsgesamtheit an. Ich hab auch die Lösung, werde aber nicht komplett schlau daraus. Hier die Lösung: $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix} a & -1 & 1 & \| & 1 \\ 0 & a-1 & -1 & \| & b-a\\ 0 & 0 & a+1 & \| & a-(a+1)b\end{pmatrix} \end{eqnarray}$ (ii) a!=0, + - 1 (-1 macht Sinn aber wieso +1, 0 ??) (i) a= -1: 0 * x3 = -1 => keine Lösung für a=-1 (ist klar) a=1: -x3=b+1 und 2 x3 = 1+ 2b => keine Lösung für a=1 (glaub hier sind vorzeichen falsch aber der widerspruch is auch klar) a=0: x3= -b und x2= 0 und x3=1 => keine Lösung für a=0 und b!= -1 (auch klar) (iii) unendlich viele Lösungen a=0 und b= -1 (nicht klar..??) Lösung: $\begin{eqnarray} x_{1} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix} + t \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ ( (dementsprechend auch nicht klar) Ich hoffe Ihr könnte mir weiter helfen... schönen Gruß edit: habe versucht mithilfe von Wikipedia durchzublicken, aber die Aufgabe scheint etwas umfangreicher zu sein als folgende Erklärung: http://upload.wikimedia.org/math/8/5/8/8587ec0f51072e221fa78e1c1af796c2.png Die Anzahl der Lösungen lässt sich dann an der letzten Zeile ablesen: * Sind alle ami in der letzten Zeile Null, bm aber nicht, so gibt es keine Lösungen. * Ist amn als einziges ami in der letzten Zeile ungleich Null, so ist das Gleichungssystem eindeutig lösbar. * Ist amn gleich Null und bm auch, gibt es unendlich viele Lösungen. * Gibt es in der letzten Zeile mindestens zwei Einträge aus der Matrix, die ungleich Null sind, so gibt es unendlich viele Lösungen. (Dies impliziert weniger Gleichungen als Unbekannte.) daher verstehe ich teile der Lösung aber nicht alles..
04.03.2011, 23:48	tigerbine	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: LGS mit 2 Parametern $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix} a & -1 & 1 & \| & 1 \\ 0 & a-1 & -1 & \| & b-a\\ 0 & 0 & a+1 & \| & a-(a+1)b\end{pmatrix} \end{eqnarray}$ Wie lautet die Determinante der Dreiecksmatrix? Was weiß man dann über das zugehöre homogene LGS?
05.03.2011, 18:22	koreks	Auf diesen Beitrag antworten »
det(A)= a³-a ... was mir das über das homogene LGS sagt, weiß ich nich. ich dachte es handelt sich um ein inhomogenes LGS?!
07.03.2011, 22:57	tigerbine	Auf diesen Beitrag antworten »
Sicher ist es hier ein inhomogenes LGS. Ich fragte daher ja auch nach dem zugehörigen homogenen LGS. Und da ist die Determinate der Matrix A ja sehr eng mit der Lösbarkeit verbunden. Wie genau?

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