geschlossener ausdruck einer potenzreihe

04.03.2011, 18:38

--> andi <--

geschlossener ausdruck einer potenzreihe

Meine Frage:
hallo

ich habe eine frage zu folgender aufgabe:

geben sie einen geschlossenen ausdruck der ableitung an von

$\begin{eqnarray*} \sum\limits_{k=1}^\infty \frac{(-3)^{k}x^{k}}{k} \end{eqnarray*}$

Meine Ideen:
wenn ich die reihe von oben ableite erhalte ich :

$\begin{eqnarray*} \sum\limits_{k=1}^\infty (-3)^{k} x^{k-1} \end{eqnarray*}$

und ich weiß, dass $\begin{eqnarray*} \sum\limits_{k=1}^n x^{n} = \frac{1}{1-x} \end{eqnarray*}$ ist.

so nun komm ich nicht wirklich weiter, weil wenn ich eine indexverschiebung mache, also die summer bei k=0 starten lass, führt dass ja dazu, dass die summe folgendermaßen aussieht:

$\begin{eqnarray*} -3 \sum\limits_{k=0}^\infty -3^{k} x^{k} \end{eqnarray*}$

aber mit dem ausdruck komm ich doch nicht auf die form von $\begin{eqnarray*} x^{n} \end{eqnarray*}$

--> muss ich da dann überhaupt eine indexverschiebung machen?

irgendwie versteh ich dass mit dem geschlossenen ausdruck nicht wirklich...ich weiß dass ich es auf eine mir bekannte form führen muss, in dem fall ja $\begin{eqnarray*} x^{n} \end{eqnarray*}$ aber ich komm da nie drauf...

danke schon mal im voraus

04.03.2011, 18:46

--> andi <--

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ah ok

ich glaub ich habs raus...

12.03.2011, 19:08

Dobbi

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Kannst du vielleicht noch sagen, was du raus hast? Ich sitze nämlich gerade vor genau der selben Aufgabe
(ich schätze mal, auch aus dem selben Grund Augenzwinkern

)
Wäre super! Dankeschön im voraus!

13.03.2011, 13:16

system-agent

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Bevor du die Lösung verrätst könntest du einen Hinweis zur Lösung geben.
Zb. durch: Setze $\begin{eqnarray*} z:=-3x \end{eqnarray*}$ .

13.03.2011, 17:46

Dobbi

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Danke für den Tipp, aber der hilft mir auch nicht weiter.

Ich kam genau so weit wie der Fragensteller oben...
Dass ich -3x substituieren kann, ist mir klar, aber nicht was dann der letzte Schritt ist...

Ich habe die Summe wie oben umgeformt, aber wie bekomme ich jetzt das Summenzeichen weg?

Ich habe auch an $\begin{eqnarray*} \sum\limits_{k=1}^n x^{n} = \frac{1}{1-x} \end{eqnarray*}$ gedacht. Aber das gilt ja nur für eine endliche Summe.

Meine Idee war dann, diese Summe als endliche zu behandeln und den Limes zu bestimmen, aber ich kam auch damit nicht auf das richtige Ergebnis.

Wo könnte denn mein Problem liegen? Ich komme echt nicht weiter...

Vielen Dank für die Hilfe!

13.03.2011, 18:41

system-agent

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Zitat:

Original von Dobbi
Ich habe auch an $\begin{eqnarray*} \sum\limits_{k=1}^n x^{n} = \frac{1}{1-x} \end{eqnarray*}$ gedacht. Aber das gilt ja nur für eine endliche Summe.

Das was da steht ist einfach falsch. Das ist die geometrische Reihe und tatsächlich gilt
$\begin{eqnarray*} \sum\limits_{k=0}^{\infty}x^k=\frac{1}{1-x} \end{eqnarray*}$ .

13.03.2011, 18:54

Dobbi

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Zitat:

Das was da steht ist einfach falsch. Das ist die geometrische Reihe und tatsächlich gilt
$\begin{eqnarray*} \sum\limits_{k=0}^{\infty}x^k=\frac{1}{1-x} \end{eqnarray*}$ .

Oh nein, was für ein blöder Fehler! unglücklich

...ich werde sowas in Zukunft gleich selbst nachschlagen, wenn ich nicht sicher bin!

Vielen Dank für den Hinweis!!

13.03.2011, 19:11

Dobbi

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Zitat:

Das ist die geometrische Reihe und tatsächlich gilt
$\begin{eqnarray*} \sum\limits_{k=0}^{\infty}x^k=\frac{1}{1-x} \end{eqnarray*}$ .

Jetzt ist mir gerade wieder eingefallen, was mich daran stutzig gemacht hat:
Dies gilt doch nur für |x| < 1

Und nur die endliche geometrische Reihe kann für alle x ungleich 1 verwendet werden...

...womit ich wieder bei meinem Problem angelangt wäre...

Hier habe ich die Möglichkeit in Betracht gezogen, so umzuformen, damit |x| < 1 gilt...Aber auf eine Lösung kam ich damit auch nicht...

13.03.2011, 20:02

system-agent

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Ja, aber das ist eine Frage die du eigentlich ganz zu Beginn klären musst. Im Klartext: Du musst zuallererst einmal den Konvergenzradius von $\begin{eqnarray*} \sum\limits_{k=1}^\infty \frac{(-3)^{k}x^{k}}{k} \end{eqnarray*}$ ausrechnen. Dann sagen dir zugehörige Sätze dass innerhalb des Konvergenzradius dieser Ausdruck eine differenzierbare Funktion $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ definiert und auch, dass du $\begin{eqnarray*} f' \end{eqnarray*}$ erhälst indem du die "Potenzreihe ableitest" dh Gliedweise ableitest und dass der Konvergenzradius der abgeleiteten Reihe gleich gross ist wie der ursprüngliche.

Übrigens ist der Konvergenzradius $\begin{eqnarray*} \frac{1}{3} \end{eqnarray*}$ , das heisst dass die Potenzreihe eine Funktion $\begin{eqnarray*} f: \left(-\frac{1}{3},\frac{1}{3}\right)\to\mathbb R \end{eqnarray*}$ definiert. Und wenn man sich an die Reihe vom Logarithmus erinnert kann man sehen, dass $\begin{eqnarray*} f(x)=-\log(1+3x) \end{eqnarray*}$ ist.

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