Stetigkeit

04.03.2011, 19:52

Gast11022013

Stetigkeit

Meine Frage:
Mal eine ganz elementare Frage:

Wenn es heißt:
Sei die Funktion $\begin{eqnarray*} f:G\to \mathbb R^n \end{eqnarray*}$ stetig, meint man doch stetig auf ganz G.. korrekt?

Wie würde man das zeigen? Also ich weiß, wie man Stetigkeit zeigt (z.B. Epsilon-Delta-Kriterium), darum gehts mir nicht. Was ich meine ist: Pickt man sich einen beliebigen Punkt raus und zeigt es für den oder wie macht man das "für ganz G"?

Die gleiche Frage habe ich für die Aussage: "Sei G offen." Wie zeigt man das: Für einen beliebigen Punkt?
Meine Ideen:
Sowas ist eigentlich Analysis I. Aber ich weiß es trotzdem nicht, muss ich zu meiner Schande gestehen.

04.03.2011, 19:57

tigerbine

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Was genau ist das Ziel der Frage?
Meine Frage dazu: Wenn es heißt "sei blablabla", dann bekommt man diese Eigenschaft als gegeben mit und darf sie im Folgenden verwenden. Man muss da nichts zeigen.

Von Stetig in einem Punkt g folgt i.A. nicht stetig auf ganz G. Es sei denn, man baut den Beweis so, dass g beliebig aus G ist und man damit den Nachweis für ganz g erbracht hat.

04.03.2011, 19:59

Gast11022013

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RE: Was genau ist das Ziel der Frage?
Ich meine z.B... den Satz von Picard-Lindelöf.. dort steht ja, dass die Menge G offene Teilmenge sein muss und die Funktion f stetig und eine Lipschitzbedingung bzgl. der zweiten Komponente erfüllen muss. Ebenso hätte ich jeden anderen Satz nennen können, der solche Aussagen enthält.

So - und wenn man jetzt in einem konkreten Fall selbst auf den Gedanken kommt: "Oh, könnte man hier diesen Satz anwenden?" - Dann muss man das alles ja nachprüfen, was der Satz fordert.

Daher kam meine Frage: Wie prüft man das denn dann für so eine ganze Menge G, ob sie offen, stetig oder sonstwas ist...

04.03.2011, 20:22

Gast11022013

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RE: Was genau ist das Ziel der Frage?
Kann mir das keiner sagen? geschockt

04.03.2011, 20:31

tigerbine

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RE: Was genau ist das Ziel der Frage?
Naja, so allgemein ist das schon schwer. Bei Stetigkeit hat man einen Grundfundus an Funktionen und aus denen kann man ja wieder stetige Funktionen bauen. Bei Lipschitz musst du eben die Abschätzung zeigen. Da ist diff'bar hilfreich, wenn auch nicht "nötig". Bei offen eben http://de.wikipedia.org/wiki/Offene_Menge#Beispiele

Meinst du nicht, du könntest mal ein konkretes Beispiel geben? Das könnte einen anderen Helfer (bin weg) die Arbeit sicher leichter machen.

Gruß Wink

04.03.2011, 20:34

Gast11022013

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RE: Was genau ist das Ziel der Frage?
Das verstehe ich nicht.

Es muss doch eine generelle Vorgehensweise geben, um für eine Funktion zu gucken, ob sie auf ihrem ganzen Definitionsbereich z.B. offen, stetig,... ist.

04.03.2011, 21:51

Iorek

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Du kannst das für allgemeines $\begin{eqnarray*} x\in D \end{eqnarray*}$ zeigen, meistens kann man aber anders die Stetigkeit begründen (Summen/Produkte...stetiger Funktionen sind stetig).
Eine so allgemeine Antwort wird mMn nicht machbar sein.

04.03.2011, 21:51

Danip159

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Hey!

Ich hab zwar erst Analysis I hinter mir, aber wie kann eine Funktion offen sein? Bzw was meinst du mit "auf ihrem ganzen Definitionsbereich offen"? Um zu gucken ob deine Definitionsmenge offen ist oder nicht, dann musst du ja nur die Randpunkte betrachten.
Beispiele wurden ja oben vontigerbine gegeben smile

Da gibts eig nicht viel zu zeigen, wenn du sowas (Bsp aus Wikipedia hast):

Zitat:

Das Intervall (0,PI] ist nicht offen in R, die Menge aller rationalen Zahlen x mit 0 < x <= pi ist dagegen offen in Q.

Einfach die Randpunkte betrachten (wenn das Intervall nicht schon explizit angegeben ist) udn schauen ob die Punkte eben im Definitionsbereich liegen.

Und eine Frage hab ich noch^^ (sry)

Zitat:

Also ich weiß, wie man Stetigkeit zeigt (z.B. Epsilon-Delta-Kriterium), darum gehts mir nicht. Was ich meine ist: Pickt man sich einen beliebigen Punkt raus und zeigt es für den oder wie macht man das "für ganz G"?

Weißt du wie man die Stetigkeit zeigt oda nicht?^^

Auch da hat tigerbine schon gesagt, man sucht NICHT einen beliebigen Punkt aus (wären im Normalfall ja unendlich viele, weil mans ja für alle zeigen möchte), sondern man nimmt einen beliebigen Punkt x an.

zB: Epsilon-Delta von y=3x (ich versuch das jetzt einfach mal^^ bitte ausbessern, falls was nicht stimmen sollte)

Allgemeine Definition:
$\begin{eqnarray*} \forall \varepsilon>0 \exists \delta > 0 \forall x \in D:|x-x_{0}|<\delta\Rightarrow|f(x)-f(x_0)|<\varepsilon \end{eqnarray*}$

Sei nun a ein beliebiger Punkt in (deinem) G und ein Punkt x aus einer Umgebung (hier oben D) um den Punkt a.

dann hat man folgendes Delta:

$\begin{eqnarray*} |x-a|<\delta \end{eqnarray*}$

Das fordert man quasi. Also unser Delta ist nun kleiner als |x-a|.

Nun muss man ein entsprechendes Epsilon finden, sodass obige E-D-Charakterisierung gilt:

$\begin{eqnarray*} |f(x)-f(a)|=|3x-3a| =3|x-a|<3\delta \end{eqnarray*}$

Nun hat man ein Epsilon gefunden
zB $\begin{eqnarray*} \varepsilon=3\delta \end{eqnarray*}$

Weil eben aus

$\begin{eqnarray*} |x-a|<\delta \end{eqnarray*}$

Wenn man $\begin{eqnarray*} \varepsilon=3\delta \end{eqnarray*}$ wählt
$\begin{eqnarray*} |f(x)-f(a)|=|3x-3a| =3|x-a|<3\delta \end{eqnarray*}$
folgt.

Und da nun a beliebig war, gilt das auch für alle Punkte.

Nur muss man eben beim Epsilon-finden aufpassen, dass man bei seinen Abschätzungen auch wirklich für alle beliebigen a abschätzt Augenzwinkern

/edit: Das Problem liegt nur jetzt eben darin, für jede Funktion ein Epsilon finden sodass E-D erfüllt ist. Da hilft eben dass Zusammensetzungen stetiger Funktionen wieder stetig ist.

Bsp:

y(x)=sin(x) ist stetig
z(x)=3x ist stetig

also auf
y(z(x))=sin(3x)

oder zB auch
y(z(y(z(x))))=sin(3(sin(3x)))
ist stetig Augenzwinkern

04.03.2011, 22:30

Gast11022013

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Zitat:

Original von Iorek
Du kannst das für allgemeines $\begin{eqnarray*} x\in D \end{eqnarray*}$ zeigen [...]

Hallo, Iorek:

Was meinst du denn mit allgemeinem x?

An Danip159:

Zitat:

[...] man sucht NICHT einen beliebigen Punkt aus (wären im Normalfall ja unendlich viele, weil mans ja für alle zeigen möchte), sondern man nimmt einen beliebigen Punkt x an.

Das meinte ich doch gerade... meine Frage war doch, ob es ausreichend ist, wenn man das, was ich zeigen möchte bzw. zu untersuchen habe, für einen beliebigen Punkt zeigen kann bzw. es erstmal für einen beliebigen Punkt annehme, da es ja unmöglich ist, alle Punkte zu betrachten.

Reicht es aus oder nicht - oder ist das zu allgemein gefragt?

(Zum Thema "Stetigkeit, das ich ganz willkürlich als Beispiel herausgepickt habe: Wenn zum Beispiel das Delta vom jeweils gewählten Punkt abhängt, ists ja keine allgemeingültige Aussage, wenn es nicht vom gewählten Punkt abhängt, wäre es ja zum Beispiel gleichmäßige Stetigkeit. Hier würde ich also sagen, dass die Strategie wäre, die Aussage für einen Punkt zu untersuchen und dann zu sehen, ob das Resultat abhängt von diesem Punkt oder für alle anderen Punkte auch gilt.)

04.03.2011, 22:37

Iorek

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Sei $\begin{eqnarray*} x\in D \end{eqnarray*}$ , dann existiert zu jedem $\begin{eqnarray*} \varepsilon >0 \end{eqnarray*}$ ...

04.03.2011, 22:41

Gast11022013

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Kann man auch sagen:

Sei $\begin{eqnarray*} x\in D \end{eqnarray*}$ beliebig, so...

Es gibt ja dann zwei Möglichkeiten: Mal ganz allgemein gesagt, denn es geht ja nicht unbedingt um Stetigkeit.

1. Der Nachweis klappt nicht: Die untersuchte Eigenschaft stimmt für diesen Punkt nicht - was ist dann mit den restlichen Punkten... dort könnte sie ja stimmen.

2. Die Eigenschaft kann gezeigt werden. Was ist dann mit den restlichen Punkten, gilt sie auch für diese...

Ich weiß, diese Frage ist zu allgemein, aber mich wundert es immer wieder, wie man solche Aussagen in Sätzen eigentlich untersuchen kann.

Naja, vielleicht ist meine Fragestellung auch einfach blöd.

05.03.2011, 00:03

someone[ger]

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Zitat:

Original von Danip159

Allgemeine Definition:
$\begin{eqnarray*} \forall \varepsilon>0 \exists \delta > 0 \forall x \in D:|x-x_{0}|<\delta\Rightarrow|f(x)-f(x_0)|<\varepsilon \end{eqnarray*}$

[...]

dann hat man folgendes Delta:

$\begin{eqnarray*} |x-a|<\delta \end{eqnarray*}$

Ich bin nicht sicher, ob du das so rum machen darfst.

Die Definition sagt ja:

Für alle Epsilon größer Null ....

Jetzt suchst du dir aber zu erst das Delta und schließt dann auf ein Epsilon.

Es mag egal sein, weil du am Ende Epsilon und Delta gefunden hast, für die es gilt. Aber bei anderen, komplexeren Funktionen könnte es da Schwierigkeiten geben.

Oder kann man sich da tatsächlich aussuchen, ob man erst Epsilon oder erst Delta wählt?

05.03.2011, 00:23

tigerbine

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Zitat:

Original von Dennis2010
Kann man auch sagen:

Sei $\begin{eqnarray*} x\in D \end{eqnarray*}$ beliebig, so...

Entweder geht der Beweis dann allgemein durch, oder du stößt auf eine Art Fallunterscheidung und ermittelst so die Punkte, für die es nicht stimmt.

In einer Klausur kann ich mir jedoch kaum vorstellen, dass die Funktionen so exotisch sein werden, dass man erst kompliziert die Stetigkeit beweisen muss.

Allgemein - jenseits "konstruierter Aufgaben" - kann man sich schon mal in komplexen Fallunterscheidungen wiederfinden.

05.03.2011, 10:44

Gast11022013

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Danke, ich werde mal abwarten, wie das in der Klausur vorkommt.
Vielen Dank für die Erklärungen.

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