Konvergenz der Reihe zeigen

30.11.2006, 12:08	oldwise	Auf diesen Beitrag antworten »
Konvergenz der Reihe zeigen Hallo! Ich stecke mal wieder fest: Ich habe folgende Reihe und soll untersuchen, ob sie konvergiert $\begin{eqnarray} \sum_{n=1}^{\infty} \frac{(n+1)^{n-1}}{(-n)^n} \end{eqnarray}$ . Ich habe die Reihe so umgeformt: $\begin{eqnarray} \sum_{n=1}^{\infty}(-1)^n \frac{(n+1)^{n-1}}{n^n} \end{eqnarray}$ . Mein erster Gedanken war das Leibniz-Kriterium, leider stellt es sich als sehr schwierig für mich heraus, z.z. das hier eine monotone Nullfolge vorliegt. Ich weiß momentan noch nicht mal in welche Richtung ich arbeiten muss, also ob sie divergiert oder konvergiert. Ich finde bisher leider auch nur konvergente Minoranten oder divergente Majoranten, also nichts was mir weiterhilft. Hat jemand einen Tipp für mich? lg
30.11.2006, 12:11	klarsoweit	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Konvergenz der Reihe zeigen Eine weitere Umformung sollte helfen: $\begin{eqnarray} \frac{(n+1)^{n-1}}{n^n} = \frac{(n+1)^n}{n^n \cdot (n+1)} \end{eqnarray}$
30.11.2006, 12:14	oldwise	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Konvergenz der Reihe zeigen hmm, nach dem Wurzelkriterium divergiert dann die Folge und somit auch die Reihe, richtig?
30.11.2006, 12:21	AD	Auf diesen Beitrag antworten »
Nein, das Wurzelkriterium liefert 1, also keine Entscheidung - wie immer bei den wirklich interessanten Reihen. Denk lieber mal in Richtung Leibniz-Kriterium.
30.11.2006, 12:28	oldwise	Auf diesen Beitrag antworten »
hmmm...
30.11.2006, 12:48	klarsoweit	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Konvergenz der Reihe zeigen Ich dachte, der Tipp würde schon reichen. Nun gut: $\begin{eqnarray} \frac{(n+1)^{n-1}}{n^n} = \frac{(n+1)^n}{n^n \cdot (n+1)}= (1 + \frac{1}{n})^n \cdot \frac{1}{n+1} \end{eqnarray}$ Jetzt überlege mal, was die Faktoren machen.
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30.11.2006, 12:56	oldwise	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Konvergenz der Reihe zeigen Danke für die Umformung, hatte ich jetzt nicht erkannt. $\begin{eqnarray} (1+\frac{1}{n})^n \end{eqnarray}$ konvergiert gegen e. Der Rest ist eine Nullfolge. Also ist das alles eine Nullfolge. Monotonie sollte jetzt auch kein Problem mehr sein. Vielen Dank!

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