Homogenes DGL System erster Ordnung

04.03.2011, 22:03

Physinetz

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Homogenes DGL System erster Ordnung

Servus,

wollt nur kurz fragen wie ich hier weitermachen muss:

Bestimmen Sie für das DGL System $\begin{eqnarray*} u'=Au \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} A=\begin{pmatrix} 0 & 1 & 1 \\ 1 & 0 & 0 \\ 1 & 0 & 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ die Lösung mit $\begin{eqnarray*} u(0)=(1,0,0)^t \end{eqnarray*}$

Dazu habe ich die Eigenwerte $\begin{eqnarray*} 0,-\sqrt{2},\sqrt{2} \end{eqnarray*}$ bestimmt sodass sich mit den zugehörigen Eigenvektoren folgende allgemeine Lösung ergibt:

$\begin{eqnarray*} \vec{y} = c_1*\begin{pmatrix} 0 \\ -1 \\ 1 \end{pmatrix}+ c_2 \begin{pmatrix} -\sqrt{2} \\ 1 \\ 1\end{pmatrix} *e^{-\sqrt{2}*x}+c_3 \begin{pmatrix} \sqrt{2} \\ 1 \\ 1\end{pmatrix} *e^{\sqrt{2}*x} \end{eqnarray*}$

Das dazugehörige Linearegleichungssystem für $\begin{eqnarray*} u(0)=(1,0,0)^t \end{eqnarray*}$
wäre ja dann:

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 0 & -\sqrt{2} & \sqrt{2} & 0 \\ -1 & 1 & 1 & 0 \\ 1 & 1 & 1 & 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Stimmt das soweit? Bevor ich da jetzt groß weiterrechne...

Dankeschön

04.03.2011, 22:41

chrizke

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Warum berechnest du nicht die Matrixexponentialfunktion und löst das direkt damit?

04.03.2011, 22:42

Equester

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Stimmt soweit Freude

Freude

Edit: Da war jmd vorher da :P

04.03.2011, 22:58

Physinetz

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Matrixexponentialfunktion ist doch viel aufwendiger/schwieriger?!

04.03.2011, 23:28

Gast11022013

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Entschuldigung, wenn ich mich einmische, aber ich habe hierzu eine Frage. Dies ist doch ein Anfangswertproblem.

Es handelt sich doch hier um eine diagonalisierbare Matrix A, weil doch die Eigenwerte alle Vielfachheit 1 haben und alle verschieden sind?

Ist dann nicht $\begin{eqnarray*} Y=\begin{pmatrix} e^{0t} & 0 & 0 \\ 0 & e^{\sqrt{2}t} & 0 \\ 0 & 0 & e^{-\sqrt{2}t} \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ bereits Fundamentalsystem?

Stimmt dann Folgendes?

Die allgemeine Lösung ist dann $\begin{eqnarray*} y=Y\cdot c \end{eqnarray*}$ .
Da es sich um ein AWP handelt, muss das $\begin{eqnarray*} c \end{eqnarray*}$ noch bestimmt werden. Ich bin mir nicht sicher, aber gilt nicht:

$\begin{eqnarray*} c=Y(t_0)^{-1}\cdot y_0 \end{eqnarray*}$ ?

Es wäre sehr nett, wenn mir jemand meine Fragen beantworten könnte, denn für die anstehende Klausur ist das bestimmt nicht ganz unwichtig.

05.03.2011, 10:50

Gast11022013

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Augenzwinkern

Es wäre nett, wenn jemand meine Frage beantworten könnte, damit ich dem eigentlichen Fragesteller nicht seine Aufmerksamkeit stehle. Aber vielleicht kann der Fragesteller die Antwort genauso gut gebrauchen wie ich.

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05.03.2011, 12:06

Physinetz

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Hmm stimmt glaub nicht, dir zu folge habe ich ja ganz andere Lösungen dann..?!

05.03.2011, 12:18

Gast11022013

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Jetzt weiß ich leider gar nichts mehr.

Was ist denn eigentlich Deine endgültige Lösung y?

(Was hast Du für $\begin{eqnarray*} c_1,c_2,c_3 \end{eqnarray*}$ raus?)

05.03.2011, 12:59

Gast11022013

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Ich wundere mich, dass das alles so verwirrend ist.
Kann jemand für Aufklärung sorgen?

05.03.2011, 13:09

Cel

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Ich kann das, glaub ich. Augenzwinkern

Augenzwinkern

Du sagst ja selbst, diese Matrix ist diagonalisierbar, es existieren also Matrizen $\begin{eqnarray*} S,~S^{-1} \end{eqnarray*}$ mit

$\begin{eqnarray*} SAS^{-1} = \operatorname{diag}(0, -\sqrt{2}, \sqrt{2}) \end{eqnarray*}$ .

Vielleicht habt ihr die äußeren Matrizen anders herum bezeichnet, das ist nicht einheitlich geregelt, wie immer. Augenzwinkern

Augenzwinkern

Aber soweit klar?

Wenn du jetzt das Matrixexponential bilden möchtest, darfst du nicht einfach das Matrixexponential der Diagonalmatrix bilden (hast du aber gemacht), sondern musst die Transformationsmatrizen mit einbeziehen. Im Klartext:

Aus $\begin{eqnarray*} SAS^{-1} = \operatorname{diag}(0, -\sqrt{2}, \sqrt{2}) \end{eqnarray*}$ folgt $\begin{eqnarray*} A = S^{-1} \operatorname{diag}(0, -\sqrt{2}, \sqrt{2}) S \end{eqnarray*}$ und damit

$\begin{eqnarray*} e^{tA} = S^{-1} e^{t \operatorname{diag}(0, -\sqrt{2}, \sqrt{2})} S \end{eqnarray*}$ .

Die mittlere Matrix hast du schon aufgeschrieben, die anderen beiden musst du noch dran multiplizieren.

Hoffentlich hilft dir das. Augenzwinkern

Augenzwinkern

05.03.2011, 13:14

Gast11022013

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Ja, dieses Verfahren kenne ich, über die Bildung einer Transformationsmatrix (anders gesagt: Jordanform bilden, Jordanbasis dann in die Matrix schreiben und schon hat man die Transformationsmatrix)

Mir war allerdings nicht klar, dass man dies IMMER machen muss, ich dachte, im diagonalisierbaren Fall könnte man sich das ersparen. Dann ist ja der Weg oben, den der Fragesteller eingeschlagen hat, in der Tat viel einfacher bzw. schneller.

---------------------

Aber es stimmt doch, dass $\begin{eqnarray*} Y(t)=e^{tA} \end{eqnarray*}$ dann die Fundamentalmatrix ist und man als allgemeine Lösung dann hat:

$\begin{eqnarray*} y(t)=Y(t)\cdot c=e^{tA}\cdot c \end{eqnarray*}$ .

Und für das AWP:
$\begin{eqnarray*} c=Y(t_0)^{-1}\cdot y_0 \end{eqnarray*}$ ?

05.03.2011, 15:13

Cel

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Zitat:

Original von Dennis2010
Aber es stimmt doch, dass $\begin{eqnarray*} Y(t)=e^{tA} \end{eqnarray*}$ dann die Fundamentalmatrix ist und man als allgemeine Lösung dann hat:

Welche "die"? Diese Matrix ist Fundamentalmatrix für das System $\begin{eqnarray*} y' = \operatorname{diag}(0, -\sqrt{2}, \sqrt{2}) y \end{eqnarray*}$ . Man muss die Transformationsmatrizen mitschleppen. Der Weg mit den EV ist da einfacher, ja. Wenn du das mit der Hand machst, aber numerisch tut sich das nichts, meine ich mal gehört zu haben.

Bei deinem c würde ich dir zustimmen.

05.03.2011, 15:57

Gast11022013

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Ich meinte einfach:

Die allgemeine Lösung nach dieser Methode (über Jordan, Transformationsmatrizen) ist dann $\begin{eqnarray*} y(t)=e^{tA}\cdot c \end{eqnarray*}$

Für ein Anfangswertproblem dann noch c bestimmen.

05.03.2011, 16:06

Cel

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Ach so, ja. Da hast du Recht. Das kam anders rüber.

05.03.2011, 16:10

Gast11022013

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Ich bedanke mich für die Hilfe, nun werde ich bei einer solchen Aufgabe gleich so schlau sein und diese Methode anwenden.

24.03.2011, 13:13

Gast11022013

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RE: Homogenes DGL System erster Ordnung
Wie macht man den Ansatz mit den Eigenwerten und Eigenvektoren bei doppelten, dreifachen,... Eigenwerten?

Wie würde man beispielsweise dieses Anfangswertproblem nach der Methode mit den Eigenwerten und Eigenvektoren löse (wenn man sich den Weg über das Matrixexponential sparen möchte)?

$\begin{eqnarray*} y'=\begin{pmatrix} 3 & -4 \\ 1 & -1 \end{pmatrix}y, y(0)=\begin{pmatrix} 3 \\ 1 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Hier gibt es den doppelten Eigenwert 1.
Zugehörige Eigenvektoren sind nach meiner Rechnung $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 2 \\ 1 \end{pmatrix}, \begin{pmatrix} 5 \\ 2 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ .

$\begin{eqnarray*} y(t)=c_1\cdot \begin{pmatrix} 2 \\ 1 \end{pmatrix}\cdot e^t+c_2\cdot \begin{pmatrix} 5 \\ 2 \end{pmatrix}\cdot e^t \end{eqnarray*}$ ?

Macht man das so?

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