Exponentialmatrix

04.03.2011, 22:30	MathsForDummies	Auf diesen Beitrag antworten »
Exponentialmatrix Meine Frage: Unser Professor hat uns während der Vorlesung gesagt, dass die folgenden Regeln bei oberen Dreiecksmatrizen (GL(3,R)) gelten: 1.) exp(AB) = exp(B)exp(A)exp([A,B]) und 2.) exp(A+B) = exp(A)exp(B)exp(-1/2[A,B]) Als einer der Studenten fragte, warum das so sei, sagte er, wir sollen das selbst herausfinden. Nun wollte ich das mal anschauen, aber ich komme irgendwie nicht weiter. Meine Ideen: Ich weiss was exp(X) ist: $\begin{eqnarray} \sum\limits_{k=0}^\infty \frac{X^{k}}{k!} \end{eqnarray}$ und was [A,B] ist: AB-BA.. Was ich schon mal hab ist folgendes: $\begin{eqnarray} exp(AB) = \sum\limits_{k=0}^\infty \frac{(AB)^{k}}{k!} = \sum\limits_{k=0}^\infty (\frac{A^{k}}{k!} \frac{B^k}{k!}) ... \end{eqnarray}$ Aber hier komme ich schon nicht mehr weiter... Darf man bei oberen Dreiecksmatrizen überhaupt die (AB)^k so auseinandernehmen? Oder müsste man wie bei der Tranposition $\begin{eqnarray} (AB)^k = B^kA^k \end{eqnarray}$ schreiben? wie komme ich nachher auf die Lie-Klammer? Falls ihr mir beim ersten helfen könntet, könnte ich das zweite vielleicht analog zu dem machen. Aber mir fehlt irgendwie eine Idee, wie ich weiterfahren soll. Edit (mY+): LaTeX-Tags gesetzt.
04.03.2011, 22:34	tigerbine	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Exponentialmatrix Exponential von Matrizen Macht ihr da zusammen weiter?

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