Direktes Produkt

05.03.2011, 03:08

tigerbine

Direktes Produkt

Hallo,

in einer Aufgabe heißt es: Die Gruppe G sei das direkte Produkt ihrer Untergruppen U und N. In der Lösung wird nun gleich damit begonnen, dass U und N Normalteiler von G sind.

Ist das nun immer so? Im Theorieteil steht "nur", wann man ein Gruppe direktes Produkt von Normalteilern nennt und als Bemerkung, dass Untergruppen nicht reichen (Aber kein Lemma oder ähnliches).

Ist es also Teil der Aufgabe sich daran zu erinnern, dass U und N Normalteiler sein müssen oder ...? Oder übersehe ich etwas?

Danke. Wink

05.03.2011, 03:18

zweiundvierzig

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RE: Direktes Produkt

Zitat:

Original von tigerbine
Ist es also Teil der Aufgabe sich daran zu erinnern, dass U und N Normalteiler sein müssen oder ...?

Das siehst Du richtig. Allgemein gilt nämlich $\begin{eqnarray*} G \cong U \times N \end{eqnarray*}$ genau dann, wenn $\begin{eqnarray*} U \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} N \end{eqnarray*}$ Normalteiler sind mit $\begin{eqnarray*} G = UN \end{eqnarray*}$ sowie $\begin{eqnarray*} U \cap N = 1 \end{eqnarray*}$ .

05.03.2011, 12:32

tigerbine

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RE: Direktes Produkt
Danke, da wollte ich mich absichern. Dann hat die Aufgabe ihren Lerneffekt ja erreicht! Wink

05.03.2011, 12:40

zweiundvierzig

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Der Punkt ist, dass die Multiplikationsabbildung $\begin{eqnarray*} U \times N \to G \end{eqnarray*}$ genau dann ein Homomorphismus ist, wenn $\begin{eqnarray*} UN = NU \end{eqnarray*}$ .

Sind $\begin{eqnarray*} U \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} N \end{eqnarray*}$ normal in $\begin{eqnarray*} G \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} U \cap N = 1 \end{eqnarray*}$ , dann kommutieren sie auch miteinander. Gilt umgekehrt $\begin{eqnarray*} G \cong N \times U \end{eqnarray*}$ , so vertauschen $\begin{eqnarray*} U \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} N \end{eqnarray*}$ miteinander und mit $\begin{eqnarray*} G = UN \end{eqnarray*}$ kann man schließen, dass $\begin{eqnarray*} U, N \trianglelefteq G \end{eqnarray*}$ .

05.03.2011, 12:52

tigerbine

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Danke.

05.03.2011, 14:27

tigerbine

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Vielleicht darf ich dich noch was zu der Aufgabe Fragen. Seien U und N Normalteiler von G mit den von dir ebenfalls genannten Eigenschaften. H sei nun eine U umfassende Untergruppe von G. Damit folgt ja schon mal dass U Normalteiler von H ist.

Für die weiteren wird folgende Rechnung gemacht: Sei h aus H, dann gilt

$\begin{eqnarray*} h(H\cap N)h^{-1} = hHh^{-1} \cap hNh^{-1} = H \cap N \end{eqnarray*}$ (*)

Warum man das macht, durchblicke ich noch nicht. Im Moment interessiert mich eher, warum das gilt. Unter welchem Aspekt betrachtet man das erste "=":

Dort wendet man einen inneren Automorphismus auf eine Untergruppe von G an. Meine Optik wäre

$\begin{eqnarray*} k_h(H\cap N) \stackrel{?}= k_h(H) \cap k_h(N) \end{eqnarray*}$

Ist die Sichtweise richtig? Wenn ja, warum gilt das "=".

edit:
Warum macht man den Zwischenschritt eigentlich? Da $\begin{eqnarray*} N\trianglelefteq G \end{eqnarray*}$ gilt, folgt $\begin{eqnarray*} H \cap N \trianglelefteq H \end{eqnarray*}$ . Damit würde (*) doch ohne den Zwischenschritt folgen, oder? verwirrt

06.03.2011, 00:04

zweiundvierzig

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Der Term nach dem ersten Gleichheitszeichen ist nur eine Ausformulierung der ersten Identität, das kannst Du Dir rein mengentheoretisch überlegen.

Den eigentlichen Schluss hast Du selbst erbracht: der Schnitt eines Normalteilers mit einer Untergruppe ist normal in dieser Untergruppe.

07.03.2011, 23:03

tigerbine

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Ok, dankeschön!

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