Beweisidee Picard-Lindelöf (lokale Variante) |
| 05.03.2011, 09:28 | Friedrich2532 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
| Beweisidee Picard-Lindelöf (lokale Variante) Hallo! Ich schaue mir gerade den Satz von Picard-Lindelöf in seiner lokalen Variante an. Die Aussage habe ich wohl halbwegs verstanden. Allerdings sind mir beim Beweis selbst die groben Beweisschritte unklar. Meine Ideen: Den globalen Satz haben wir in der Vorlesung dadurch bewiesen, dass wir eine kontraktive Abbildung definiert haben, dessen Fixpunkte gerade die Lösungen eines Anfangswertproblems der DGL sind. Mit dem Banachschen Fixpunktsatz ist dann die Eindeutigkeit klar, wenn die kontraktive Abbildung in einem vollständigen, metrischen Raum wirkt. In dem Skript nach dem ich lerne, steht zum Beweis der lokalen Version nicht allzuviel. Der erste Schritt ist die Wahl einer Kontraktion, die so gewählt sein muss, dass sie die Randbedingung für die Fixpunkte (Lösungen der DGL) reproduziert. Dadurch soll es möglich sein, die Rekursionen des Banachschen Fixpunktsatzes für $\phi$ auf dem vollständigen metrischen Raum der stetigen Funktionen durchzuführen. Anschließend wird dann die Picard-Iteration vorgeführt. Ich habe große Probleme schon allein das Konzept des Beweises zu verstehen, wobei ich den ersten Schritt noch einigermaßen verstehe. Könnte mir jemand in etwa das Vorgehen skizzieren oder auf einen anschaulichen anschaulichen Beweis verlinken? Bei wikibooks gibt es diesen Beweis auch, aber da verstehe ich das Konzept auch nicht so recht. Vielen Dank! Friedrich |
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| 05.03.2011, 10:00 | system-agent | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Die Idee ist, dass man sich eine Folge von Funktionen konstruiert, die gegen eine Lösung der DGL konvergiert. Das ist die Picard-Iterationsfolge. Nun muss diese Folge eben in einem geeigneten Raum leben damit man einerseits die Konvergenz dieser Folge gegen eine differenzierbare Funktion hat und andererseits die Eindeutigkeit. Dass die Folge konvergiert und der Grenzwert eindeutig ist, das kommt mit Banach und der Tatsache, dass man den Banach-Satz auf einem geeignetem Raum anwendet [Vollständigkeit!]. Das ist natürlich nur die Idee, es bleiben noch Details zu überprüfen. |
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| 05.03.2011, 11:27 | Friedrich2532 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Vielen Dank schonmal! Funktioniert der Beweis denn auch ohne die Iteration? Also quasi mit dem selben Ansatz wie im globalen Fall, dass man eine Kontraktion in einem vollständigen metrischen Raum sucht. Für diese Kontraktion zeigt man dann, dass die nur in einem kleinen Funktionenraum wirken kann, der der Einschränkung auf die Lokalität entspricht. Das wäre dann z.B. . Da dieser Raum vollständig und metrisch ist und die Abbildung eine Kontraktion, ist dann doch schon Eindeutigkeit gezeigt, weil der Banachsche Fixpunktsatz angewendet werden darf, oder? |
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| 05.03.2011, 12:05 | system-agent | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Der Beweis im lokalen und im globalen Fall unterscheiden sich von der Idee garnicht.
Ja, Banach sagt schliesslich dass falls man eine genügend nette Kontraktion hat, dann gibt es einen eindeutigen Fixpunkt. |
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| 05.03.2011, 12:32 | Friedrich2532 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Okay! Dann habe ich die Beweisstruktur schon einigermaßen durchblickt. Die Picard-Iteration kann ich dann z.B. verwenden, um die Lösung zu berechnen? |
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| 05.03.2011, 12:54 | system-agent | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Ja, aus dem Beweis weisst du, dass diese Folge gegen die exakte Lösung konvergiert. Du kannst das numerisch auch programmieren um so die Lösung zu finden. Allerdings ist das für wirkliche numerische Approximationen keine gute Strategie, im Allgemeinen musst du sehr viele Iterationsschritte berechnen um eine einigermassen zufriedenstellende Lösung zu kriegen. |
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| 05.03.2011, 13:04 | Friedrich2532 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Vielen Dank! Das hat mir weitergeholfen! |
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