Ableitung

05.03.2011, 11:29

fabi-007

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Ableitung

$\begin{eqnarray*} fx \end{eqnarray*}$ = $\begin{eqnarray*} \frac{-1}{2x^2+1} \end{eqnarray*}$
Diese funktion ableiten, die erste ableitung, habe ich ohne probleme hinbekommen

$\begin{eqnarray*} fx=\frac{4}{(2x^2+1)^2} \end{eqnarray*}$

nur bei der 2 und dritten Ableitung tu ich mich schwer, also man muss doch jetzt die Quotientenregel anwenden oder?

habe das mal in mehrere ableitungsrechner eingeben und dort kamen irgendwie immer andere Ergebnisse raus.

wenn ich die Quotientenregel anwenden müsste doch

$\begin{eqnarray*} \frac{(4)*(2x^2+1)^2-(4x)*(2x^2+1)^2}{(2x^2+1)^4} \end{eqnarray*}$

oder?

danke im vorraus

05.03.2011, 11:36

fabi-007

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eher

$\begin{eqnarray*} \frac{(4)*(2x^2+1)^2-(4x)*(4x)^2}{(2x^2+1)^4} \end{eqnarray*}$

05.03.2011, 11:45

lgrizu

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Zitat:

Original von fabi-007
$\begin{eqnarray*} fx \end{eqnarray*}$ = $\begin{eqnarray*} \frac{-1}{2x^2+1} \end{eqnarray*}$
Diese funktion ableiten, die erste ableitung, habe ich ohne probleme hinbekommen

$\begin{eqnarray*} fx=\frac{4}{(2x^2+1)^2} \end{eqnarray*}$

fehlt hier nicht ein x im Zähler?

Zitat:

Original von fabi-007

$\begin{eqnarray*} \frac{(4)*(2x^2+1)^2-(4x)*(4x)^2}{(2x^2+1)^4} \end{eqnarray*}$

Das ist so nicht richtig, für die Ableitung der Nennerfunktion benötigt man die Kettenregel.

05.03.2011, 11:47

Cheftheoretiker

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Wenn du diese Funktion ableiten musst, dann geh so vor.

$\begin{eqnarray*} fx=\frac{4}{(2x^2+1)^2} \end{eqnarray*}$

Edit lgrizu: Bitte keine Komplettlösungen, Ergebnis entfernt

Wenn ich mich nicht verrechnet habe...

05.03.2011, 11:51

fabi-007

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ups, so lautet doch die erste Ableitung oder? $\begin{eqnarray*} fx= \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} \frac{4x}{(2x^2+1)^2} \end{eqnarray*}$

05.03.2011, 11:52

lgrizu

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Jap, das ist richtig.

Nun bilde einmal die Ableitung der Funktion im Nenner.

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05.03.2011, 11:53

Cheftheoretiker

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Zitat:

Original von lgrizu
Jap, das ist richtig.

Nun bilde einmal die Ableitung der Funktion im Nenner.

Verzeih, ich habe nicht mitbekommen das jemand den Fall schon bearbeitet.

hangman Wink

Wink

05.03.2011, 11:59

fabi-007

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steh aufn schlauch -.-

$\begin{eqnarray*} 8x^3+4x \end{eqnarray*}$ ???

05.03.2011, 12:04

lgrizu

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Wir betrachten einmal die Nennerfunktion, diese ist (2x²+1)².

Um sie abzuleiten benötigen wir die Kettenregel, wie lautet die Kettenregel?

05.03.2011, 12:09

fabi-007

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y=v(u(x)) daraus folgt y'=v'*u'

nach meiner berechnung wäre die ableitung vom nenner

$\begin{eqnarray*} \frac{2}{2x+1} \end{eqnarray*}$ ??

05.03.2011, 12:10

fabi-007

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$\begin{eqnarray*} \frac{2}{(2x+1)^0,5} \end{eqnarray*}$

05.03.2011, 12:13

lgrizu

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Die Kettenregel ist richtig, die Ableitung von $\begin{eqnarray*} f'(x)=(u(v(x)))'=u'(v(x)) \cdot v'(x) \end{eqnarray*}$ .

Was ist nun in unserer Funktion $\begin{eqnarray*} (2x^2+1)^2 \end{eqnarray*}$ u und was ist v, wie schaut also die Ableitung aus?

05.03.2011, 12:15

fabi-007

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also u wäre v wäre 1/2 und u $\begin{eqnarray*} (2x^2+1)^2 \end{eqnarray*}$

05.03.2011, 12:16

fabi-007

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ups, v wäre 1/2 und u (2x^2+1)^2

05.03.2011, 12:18

fabi-007

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alles falsch, v wäre u^2 und u= 2x^2+1

05.03.2011, 12:22

fabi-007

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$\begin{eqnarray*} fx= \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} \frac{8x}{2x^2+1} \end{eqnarray*}$

05.03.2011, 12:22

lgrizu

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Und wie kommst du auf v(x)=1/2?

Vielleicht wird es dir deutlich, wenn wir das mal ein wenig umschreiben, sei y eine Funktion von x, wir setzen v(x)=y und erhalten dann mit der Kettenregel:

$\begin{eqnarray*} f'(x)=(u(y))'=u'(y) \cdot y' \end{eqnarray*}$ .

Nun ist in unserer Funktion (Wir betrachten noch immer nur den Nenner) $\begin{eqnarray*} f(x)=(2x^2+1)^2 \end{eqnarray*}$ .

Wir setzen $\begin{eqnarray*} y=2x^2+1 \end{eqnarray*}$ und haben dann die Ableitung: $\begin{eqnarray*} f'(x)=(y^2)'=y' \cdot 2 y^{2-1}=y' \cdot 2y \end{eqnarray*}$ .

Nun müssen nur noch y und y' wieder eingesetzt werden und wir haben die Ableitung des Nenners, das ganze dann in die Quotientenregel einsetzen.

05.03.2011, 12:34

fabi-007

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Und wie kommst du auf v(x)=1/2?

weiß ich gerade selbst nicht mehr...^^

also wäre die Antwort, für die ableitung des nenners

$\begin{eqnarray*} f'(x)= \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} 8x \end{eqnarray*}$

aber wieso ist das nicht richitg?
$\begin{eqnarray*} \frac{8x}{2x^2+1} \end{eqnarray*}$

05.03.2011, 12:58

lgrizu

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Jetzt setze doch einfach einmal $\begin{eqnarray*} y=2x^2+1 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} y'=4x \end{eqnarray*}$ in die Kettenregel $\begin{eqnarray*} (y^2)'=2y \cdot y' \end{eqnarray*}$ ein, was erhälst du?

05.03.2011, 13:02

fabi-007

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$\begin{eqnarray*} 4x^2+2*4x \end{eqnarray*}$

05.03.2011, 13:08

fabi-007

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genau genommen, $\begin{eqnarray*} 16x+8x \end{eqnarray*}$

05.03.2011, 13:18

lgrizu

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Zitat:

Original von lgrizu
Jetzt setze doch einfach einmal $\begin{eqnarray*} y=2x^2+1 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} y'=4x \end{eqnarray*}$ in die Kettenregel $\begin{eqnarray*} (y^2)'=2y \cdot y' \end{eqnarray*}$ ein, was erhälst du?

Das kann doch nicht sein, dass du es nicht schaffst, das einzusetzen, nachdem ich dir hier fast eine Komplettlösung für die Ableitung des Nenners gegeben habe....

Wir setzen mal stumpf ein und erhalten:

$\begin{eqnarray*} (y^2)'=2 \cdot (2x^2+1) \cdot 4x \end{eqnarray*}$ , das ist die Ableitung des Nenners.

Nun die Ableitung des Zählers bestimmen und das dann in die Quotientenregel einsetzen.

05.03.2011, 13:38

fabi-007

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ja, sry. Bin ein schwieriger Fall....

hatte das eigentlich auch so, nur ich habe das dann ausmultipliziert.

also der Ansatz für die Ableitung von $\begin{eqnarray*} fx = \frac{4x}{(2x^2+1} \end{eqnarray*}$

wäre

$\begin{eqnarray*} \frac{ 4*(2x+1)^2-(4x)*2*(2x^2+1)*(4x)*}{(2x^2+1)^4} \end{eqnarray*}$

hoffe, das ist richitg....danke für deine Geduld...

05.03.2011, 13:39

lgrizu

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Jap, das ist richtig, man kann noch kürzen.

Zitat:

Original von fabi-007
genau genommen, $\begin{eqnarray*} 16x+8x \end{eqnarray*}$

Okay, dann war hier also nur der (Tipp)fehler, dass das "hoch 3" vergessen worden ist?

05.03.2011, 13:47

fabi-007

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$\begin{eqnarray*} \frac{4*(2x+1)-(4x)*2*4}{(2x^2+1)} \end{eqnarray*}$

das wäre doch gekürzt oder?

05.03.2011, 13:50

lgrizu

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Fehlt da nicht schon wieder ein "x"?

05.03.2011, 13:51

fabi-007

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$\begin{eqnarray*} \frac{4*(2x+1)-(4x)*2*4x}{(2x^2+1)} \end{eqnarray*}$

05.03.2011, 13:54

fabi-007

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$\begin{eqnarray*} fx=\frac{-24x+4}{2x^2+1} \end{eqnarray*}$

05.03.2011, 14:15

fabi-007

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das ist doch immer noch falsch oder ?

05.03.2011, 14:21

lgrizu

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Mit Potenzen hast du es nicht so, oder?

Jetzt ist es fast richtig, richtig wäre:

$\begin{eqnarray*} f''(x)=\frac{-24x^2+4}{(2x^2+1)^3} \end{eqnarray*}$

05.03.2011, 14:29

fabi-007

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definitiv...

also noch mal für dumme,

ich kürze ein $\begin{eqnarray*} (2x^2+1) \end{eqnarray*}$ raus das andere multipliziere ich aus und komme so auf $\begin{eqnarray*} -24x^2 +4 \end{eqnarray*}$

??

05.03.2011, 14:30

lgrizu

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Jap, so ist es.

05.03.2011, 14:36

fabi-007

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ok,

komm auch nun auf das Ergebnis, also schon einmal danke dafür, nur wieso

$\begin{eqnarray*} -24x^2 \end{eqnarray*}$

05.03.2011, 14:44

lgrizu

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Betrachten wir einmal die zweite ableitung, diese ist:

$\begin{eqnarray*} \frac{4*(2x^2+1)-4x*2*4x}{(2x^2+1)^3}=\frac{8x^2+4-32x^2}{(2x^2+1)^3}=\frac{-24x^2+4}{(2x^2+1)^3} \end{eqnarray*}$

05.03.2011, 14:48

fabi-007

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oh man, wie dumm ich mich angestellt habe...vielen vielen Dank für deine Hilfe und deine Geduld smile

smile

))

05.03.2011, 14:51

lgrizu

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Dafür nicht Augenzwinkern

Augenzwinkern

Weiterhin viel Spaß am Matheboard Wink

Wink

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