sigma-Algebra

05.03.2011, 11:59

Gast11022013

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sigma-Algebra

Meine Frage:
Hallo, ich würde gerne an einem Beispiel mal nachweisen, dass es sich um eine $\begin{eqnarray*} \sigma \end{eqnarray*}$ -Algebra handelt, denn ich denke, so ein Nachweis könnte gut in einer Klausur verlangt werden.

Zeigen möchte ich, dass
$\begin{eqnarray*} M:=\left\{A\subset S\right\} \end{eqnarray*}$ , wobei gilt: $\begin{eqnarray*} A \end{eqnarray*}$ oder $\begin{eqnarray*} A^{C} \end{eqnarray*}$ ist höchstens abzählbar

eine $\begin{eqnarray*} \sigma \end{eqnarray*}$ -Algebra ist.

Meine Ideen:
Zunächst zu unserer Notation und Definition:

$\begin{eqnarray*} S \end{eqnarray*}$ sei eine beliebige nicht leere Menge und $\begin{eqnarray*} \mathcal{P}(S) \end{eqnarray*}$ die Potenzmenge von $\begin{eqnarray*} S \end{eqnarray*}$ , d.h. die Menge aller Teilmengen von $\begin{eqnarray*} S \end{eqnarray*}$ .

$\begin{eqnarray*} \mathcal{A}\subset \mathcal{P}(S) \end{eqnarray*}$ heißt $\begin{eqnarray*} \sigma \end{eqnarray*}$ -Algebra (präziser: $\begin{eqnarray*} \sigma \end{eqnarray*}$ -Algebra auf der Menge $\begin{eqnarray*} S \end{eqnarray*}$ ), falls

(i) $\begin{eqnarray*} \emptyset\in\mathcal{A}, S\in\mathcal{A} \end{eqnarray*}$ ,
(ii) $\begin{eqnarray*} A\in\mathcal{A}\Rightarrow A^{C}:=\left\{s\in S:s\notin A\right\}\in\mathcal{A} \end{eqnarray*}$ ,
(iii) $\begin{eqnarray*} A_1,A_2,... \in\mathcal{A}\Rightarrow \bigcup_{j=1}^{\infty} A_j\in\mathcal{A} \end{eqnarray*}$ .

Und für mein Beispiel muss ich ja jetzt (i)-(iii) nachweisen.
Wer kann mir dabei helfen?

Zu (i):
$\begin{eqnarray*} \emptyset\in M \end{eqnarray*}$ , da die leere Menge in jeder Menge enthalten ist.

Mehr bekomme ich leider auch schon nicht hin.

05.03.2011, 12:10

system-agent

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RE: sigma-Algebra

Zitat:

Original von Dennis2010
Zu (i):
$\begin{eqnarray*} \emptyset\in M \end{eqnarray*}$ , da die leere Menge in jeder Menge enthalten ist.

Soso. Ich habe eine Menge die die leere Menge nicht enthält, zb $\begin{eqnarray*} \mathbb R \end{eqnarray*}$ . Falls die leere Menge in jeder Menge enthalten wäre, dann müsste man das ja auch nicht fordern Augenzwinkern

Augenzwinkern

.

Die Elemente von $\begin{eqnarray*} M \end{eqnarray*}$ sind Teilmengen von $\begin{eqnarray*} S \end{eqnarray*}$ so, dass entweder sie selbst oder deren Komplement höchstens abzählbar ist.
Damit $\begin{eqnarray*} \emptyset\in M \end{eqnarray*}$ gilt, muss also $\begin{eqnarray*} \emptyset \end{eqnarray*}$ abzählbar sein oder $\begin{eqnarray*} S\setminus\emptyset \end{eqnarray*}$ abzählbar sein.
Stimmt [mindestens] eines von beiden?

05.03.2011, 12:11

Gast11022013

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RE: sigma-Algebra
Ja, die leere Menge ist abzählbar.

05.03.2011, 12:14

zweiundvierzig

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RE: sigma-Algebra

Zitat:

Original von Dennis2010
Zu (i):
$\begin{eqnarray*} \emptyset\in M \end{eqnarray*}$ , da die leere Menge in jeder Menge enthalten ist.

Wieso ist das genau die richtige Begründung? Guck Dir doch einfach die Mägchtigkeit der leeren Menge an.

Ich schreibe im folgenden mal gemäß Konvention $\begin{eqnarray*} \mathcal M \end{eqnarray*}$ .

Zu (ii):
Nimm an $\begin{eqnarray*} A \in \mathcal M \end{eqnarray*}$ , d.h. $\begin{eqnarray*} A \end{eqnarray*}$ oder $\begin{eqnarray*} A^C \end{eqnarray*}$ ist abzählbar. Wie kannst Du schließen, dass nun folgt $\begin{eqnarray*} A^C \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} (A^C)^C \end{eqnarray*}$ sind abzählbar?

Zu (iii):
Unterscheide die Fälle, dass entweder alle $\begin{eqnarray*} A_i \end{eqnarray*}$ abzählbar sind, oder eines nicht.

Edit: Etwas zu spät. smile

smile

05.03.2011, 12:15

Gast11022013

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RE: sigma-Algebra
Wieso kann man das "höchstens" weglassen?

Okay, die leere Menge hat ja gar keine Elemente, also ist sie ja abzählbar.

Wie erklärt man, dass S in M enthalten ist?

05.03.2011, 12:25

zweiundvierzig

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RE: sigma-Algebra

Zitat:

Original von Dennis2010
Wieso kann man das "höchstens" weglassen?

Es gibt verschiedene Konventionen, was abzählbar bedeutet: "gleichmächtig zu $\begin{eqnarray*} \mathbb Z \end{eqnarray*}$ " oder aber "endlich oder gleichmächtig zu $\begin{eqnarray*} \mathbb Z \end{eqnarray*}$ ". Am besten Du schreibst bei Deinem Beweis immer "höchstens abzählbar".

Zitat:

Original von Dennis2010
Wie erklärt man, dass S in M enthalten ist?

Es ist $\begin{eqnarray*} S^C = \emptyset \in \mathcal M \end{eqnarray*}$ . Im übrigen wundert es mich etwas, dass Ihr in eurer Definition beides fordert. Wegen (ii) genügt es ja, in der Definition entweder $\begin{eqnarray*} S \in \mathcal M \end{eqnarray*}$ oder aber $\begin{eqnarray*} \emptyset \in \mathcal M \end{eqnarray*}$ zu fordern.

Edit:

Zitat:

Original von Dennis2010
Okay, die leere Menge hat ja gar keine Elemente, also ist sie ja abzählbar.

Ja, sie hat Mächtigkeit 0, ist also endlich.

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05.03.2011, 12:37

Gast11022013

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RE: sigma-Algebra

Zitat:

Original von zweiundvierzig
Zu (ii):
Nimm an $\begin{eqnarray*} A \in \mathcal M \end{eqnarray*}$ , d.h. $\begin{eqnarray*} A \end{eqnarray*}$ oder $\begin{eqnarray*} A^C \end{eqnarray*}$ ist abzählbar. Wie kannst Du schließen, dass nun folgt $\begin{eqnarray*} A^C \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} (A^C)^C \end{eqnarray*}$ sind abzählbar?

Ich habe keine Ahnung, ohje!

Edit:

Wenn A abzählbar ist, dann also $\begin{eqnarray*} (A^{C})^{C} \end{eqnarray*}$ .
Wenn $\begin{eqnarray*} A^{C} \end{eqnarray*}$ abzählbar ist, ist es in M.

Zitat:

Zu (iii):
Unterscheide die Fälle, dass entweder alle $\begin{eqnarray*} A_i \end{eqnarray*}$ abzählbar sind, oder eines nicht.

05.03.2011, 12:40

zweiundvierzig

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RE: sigma-Algebra

Zitat:

Original von Dennis2010

Zitat:

Original von zweiundvierzig
Zu (ii):
Nimm an $\begin{eqnarray*} A \in \mathcal M \end{eqnarray*}$ , d.h. $\begin{eqnarray*} A \end{eqnarray*}$ oder $\begin{eqnarray*} A^C \end{eqnarray*}$ ist abzählbar. Wie kannst Du schließen, dass nun folgt $\begin{eqnarray*} A^C \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} (A^C)^C \end{eqnarray*}$ sind abzählbar?

Ich habe keine Ahnung, ohje!

Was ist denn $\begin{eqnarray*} (A^C)^C \end{eqnarray*}$ ?

05.03.2011, 12:41

Gast11022013

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RE: sigma-Algebra
Achso, ja!

Ich habe es eben als Edit in die letzte Antwort gepackt.

05.03.2011, 12:45

zweiundvierzig

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RE: sigma-Algebra

Zitat:

Original von Dennis2010
Wenn A abzählbar ist, dann also $\begin{eqnarray*} (A^{C})^{C} \end{eqnarray*}$ .
Wenn $\begin{eqnarray*} A^{C} \end{eqnarray*}$ abzählbar ist, ist es in M.

Was genau meinst Du in der ersten Zeile? Es gilt einfach $\begin{eqnarray*} (A^C)^C = A \end{eqnarray*}$ . Daher ist auch die Aussage " $\begin{eqnarray*} A \end{eqnarray*}$ oder $\begin{eqnarray*} A^C \end{eqnarray*}$ ist abzählbar" dieselbe wie " $\begin{eqnarray*} A^C \end{eqnarray*}$ oder $\begin{eqnarray*} (A^C)^C \end{eqnarray*}$ ist abzählbar".

Edit: TeX korrigiert.

05.03.2011, 12:51

Gast11022013

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RE: sigma-Algebra
Ich meinte einfach:
Sei $\begin{eqnarray*} A \in M \end{eqnarray*}$ . D.h. A abzählbar oder $\begin{eqnarray*} A^{C} \end{eqnarray*}$ abzählbar.

Zeigen will man, dass $\begin{eqnarray*} A^{C}\in M \end{eqnarray*}$ . Das bedeutet ja:

$\begin{eqnarray*} A^{C} \end{eqnarray*}$ oder $\begin{eqnarray*} (A^{C})^{C}=A \end{eqnarray*}$ abzählbar. Und das ist ja eben erfüllt.

05.03.2011, 13:03

zweiundvierzig

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Ja, genau. smile

smile

05.03.2011, 13:06

Gast11022013

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RE: sigma-Algebra
Danke, jetzt fehlt mir nur noch

Zitat:

Original von zweiundvierzig
Zu (iii):
Unterscheide die Fälle, dass entweder alle $\begin{eqnarray*} A_i \end{eqnarray*}$ abzählbar sind, oder eines nicht.

1. Fall: Alle $\begin{eqnarray*} A_i \end{eqnarray*}$ sind abzählbar.

Dann ist auch die Vereinigung abzählbar, liegt also in M.

2. Fall: Ein $\begin{eqnarray*} A_i \end{eqnarray*}$ ist nicht abzählbar.

Dann... verwirrt

verwirrt

05.03.2011, 13:12

zweiundvierzig

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RE: sigma-Algebra

Zitat:

Original von Dennis2010
1. Fall: Alle $\begin{eqnarray*} A_i \end{eqnarray*}$ sind abzählbar.

Dann ist auch die Vereinigung abzählbar, liegt also in M.

Richtig.

Zitat:

Original von Dennis2010
2. Fall: Ein $\begin{eqnarray*} A_i \end{eqnarray*}$ ist nicht abzählbar.

Dann... verwirrt

verwirrt

Ja, dann...?

Hinweis: Was gilt für $\begin{eqnarray*} A_i^C \end{eqnarray*}$ ? Was wollen wir insgesamt folgern, wenn wir schon wissen, dass $\begin{eqnarray*} \bigcup_{j \in \mathbb N} A_j \end{eqnarray*}$ nicht abzählbar ist?

05.03.2011, 13:23

Gast11022013

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RE: sigma-Algebra

Zitat:

Original von zweiundvierzig
Hinweis: Was gilt für $\begin{eqnarray*} A_i^C \end{eqnarray*}$ ? Was wollen wir insgesamt folgern, wenn wir schon wissen, dass $\begin{eqnarray*} \bigcup_{j \in \mathbb N} A_j \end{eqnarray*}$ nicht abzählbar ist?

Für das eine $\begin{eqnarray*} A_i \end{eqnarray*}$ , das nicht abzählbar ist, ist dann $\begin{eqnarray*} A_i^{C} \end{eqnarray*}$ abzählbar, da das $\begin{eqnarray*} A_i \end{eqnarray*}$ ansonsten ja nicht in M enthalten wäre, was man hier ja aber annimmt.

Wenn wir wissen, dass $\begin{eqnarray*} \bigcup_{j \in \mathbb N} A_j \end{eqnarray*}$ nicht abzählbar ist, dann möchte man vermutlich zeigen, dass $\begin{eqnarray*} (\bigcup_{j \in \mathbb N} A_j)^{C} \end{eqnarray*}$ abzählbar ist.

05.03.2011, 13:25

zweiundvierzig

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Genau.

Freude

Wie kann man nun $\begin{eqnarray*} \left(\bigcup_{j \in \mathbb N} A_j\right)^C \end{eqnarray*}$ alternativ schreiben und was hat diese Menge mit $\begin{eqnarray*} A_i^C \end{eqnarray*}$ zu tun?

05.03.2011, 13:31

Gast11022013

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Zitat:

Original von zweiundvierzig
Wie kann man nun $\begin{eqnarray*} \left(\bigcup_{j \in \mathbb N} A_j\right)^C \end{eqnarray*}$ alternativ schreiben und was hat diese Menge mit $\begin{eqnarray*} A_i^C \end{eqnarray*}$ zu tun?

$\begin{eqnarray*} \left(\bigcup_{j \in \mathbb N} A_j\right)^C=\bigcup_{j \in \mathbb N} A_j^{C}=A_1^{C}\cup A_2^{C}\cup . . . \cup A_i^{C}\cup . . . \end{eqnarray*}$

Was diese Menge nun mit $\begin{eqnarray*} A_i^{C} \end{eqnarray*}$ zu tun hat, sehe ich nicht.

05.03.2011, 13:34

zweiundvierzig

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Zitat:

Original von Dennis2010
$\begin{eqnarray*} \left(\bigcup_{j \in \mathbb N} A_j\right)^C=\bigcup_{j \in \mathbb N} A_j^{C} \end{eqnarray*}$

Nein. Denk' mal an De Morgan.

05.03.2011, 13:38

Gast11022013

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Zitat:

Original von zweiundvierzig

Zitat:

Original von Dennis2010
$\begin{eqnarray*} \left(\bigcup_{j \in \mathbb N} A_j\right)^C=\bigcup_{j \in \mathbb N} A_j^{C} \end{eqnarray*}$

Nein. Denk' mal an De Morgan.

$\begin{eqnarray*} \left(\bigcup_{j \in \mathbb N} A_j\right)^C=\bigcap_{j \in \mathbb N} A_j \end{eqnarray*}$

05.03.2011, 13:46

zweiundvierzig

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Ja. Und welche Relation besteht zwischen dieser Menge und $\begin{eqnarray*} A_i^C \end{eqnarray*}$ ?

Edit: Nein, das stimmt immer noch nicht.

05.03.2011, 13:50

Gast11022013

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Hm.

Es ist ja der Schnitt über alle $\begin{eqnarray*} A_j \end{eqnarray*}$ , also enthält die Menge die Elemente, die in allen $\begin{eqnarray*} A_j \end{eqnarray*}$ enthalten sind.

Aber ich erkenne da keinen weiteren Zusammenhang, tut mir leid.. unglücklich

unglücklich

05.03.2011, 13:56

zweiundvierzig

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Nein, es ist $\begin{eqnarray*} (A \cup B)^C \neq A \cap B \end{eqnarray*}$ , sondern...?

05.03.2011, 13:59

Gast11022013

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$\begin{eqnarray*} \bigcap_{j=1}^{\infty} A_j=(\bigcup_{j=1}^{\infty} A_j^{C})^{C} \end{eqnarray*}$ .

Vielleicht mache ich an dieser Stelle mal Stopp. Ich möchte auch nicht nur Müll produzieren.

05.03.2011, 14:05

zweiundvierzig

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Diese Aussage stimmt wiederum.

Davon abgesehen, überleg' Dir elementar mal, was $\begin{eqnarray*} (A \cup B)^C \end{eqnarray*}$ ist. Danach hast Du's eigentlich schon.

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