Sättigung mit stärkerem "Knick"?

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05.03.2011, 13:07	ToniAkustik	Auf diesen Beitrag antworten »
Sättigung mit stärkerem "Knick"? Meine Frage: Hallo zusammen! Ich hätte gerne eine Funktion, die einen Sättigungsprozess beschreibt. Diese Funktion soll zunächst ab dem Ursprung einen (nahezu) linearen Bereich haben und soll dann relativ schnell, also mit starker Krümmung abflachen. Sie sollte nicht unbedingt einen Grenzwert haben, das wäre aber auch nicht schlimm. Meine Ideen: Die Kurven, die ich bisher probiert habe (Logarithmus mit x-Verschiebung, arctan und die logistische Funktion mit dem Wendepunkt im Ursprung) sind mir zu "weich". Sie sind also entweder im unteren Bereich nicht linear genug, sprich sie krümmen sich zu früh schon zu stark, oder sie sind mir im Sättigungsbereich nicht begrenzend genug, sprich sie Krümmen sich zu wenig. Im Idealfall soll ab dem Sättigungsbereich eher eine zunehmende Kompression als eine Limitierung einsetzen. Um eine Fallunterscheidung, also ein "Zusammenkleben" verschiedener Funktionen möchte ich unbedingt herumkommen, da die Komplexität dann meine Möglichkeiten im Anwendungsfall sprengen würde.
05.03.2011, 14:40	mYthos	Auf diesen Beitrag antworten »
Die logistische Funktion wird wohl den geforderten Bedingungen am ehesten genügen. Durch Variation der in dieser Funktion vorkommenden Parameter kann deren Aussehen weitgehend verändert werden. Der Wendepunkt liegt dabei in den seltensten Fällen im Ursprung. Boardsuche: "Logistisches Wachstum" Exponentielles Wachstum mY+
06.03.2011, 14:48	ToniAkustik	Auf diesen Beitrag antworten »
kein Wachstum Danke für die Antwort. Ich brauche allerdings kein Wachstum am Beginn der Kurve, deshalb der Gedanke, den Wendepunkt in den Ursprung zu legen. Mich interessieren darüber hinaus auch nur positive Werte für x. Mit dem Wendepunkt im Ursprung schmiegt sich die logistische Funktion halt zunächst schön eng an f(x)=x. Allerdings bin ich inzwischen auf eine Variante umgestiegen, die etwas nach oben rechts verschoben ist. Der Vorteil ist, dass ich einen längeren fastlinearen Bereich im 1. Quadranten habe, der Nachteil ist allerdings, dass dieser dadurch "unsauberer" wird, die Differenz zu f(x)=x also nicht kontinuierlich steigt, sondern schwankt. Mit welchem Parameter kann ich denn die Krümmung beeinflussen, wenn die Steigung im Ursprung auf jeden Fall 1 sein muss? Meine aktuelle Funktionsgleichung ist übrigens: $\begin{eqnarray} <br /> f(x)=\frac{8}{1+e^{-0,5x+0,5} }-3<br /> \end{eqnarray}$
06.03.2011, 18:55	Dopap	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: kein Wachstum wenn der Grenzwert 5 sein soll, könnte ich noch $\begin{eqnarray} 5 \cdotp (1-e^{-0.2x}) \end{eqnarray}$ anbieten. Das entspricht einer Abbremsung Widerstand proportional zu v. Länger gerade und schnellere Krümmung bietet der freie Fall in Luft mit Widerstand proportional zu v^2. Da müsst ich aber erst noch nachschauen...
06.03.2011, 19:45	Dopap	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: kein Wachstum hier am Board wird jeder bedient: Grenzwert wieder 5 und Steigung = 1 an der Stelle Null $\begin{eqnarray} f(x)=\frac{5(e^{0.4x} -1)}{e^{0.4x}+1} \end{eqnarray}$ und als Zugabe noch $\begin{eqnarray} f(x)=\frac{10}{\pi} \arctan (\frac{\pi}{10} x) \end{eqnarray}$
06.03.2011, 20:02	ToniAkustik	Auf diesen Beitrag antworten »
Wow! Danke für deine Vorschläge, aber diese Funktionen sind leider alle noch "weicher" als meine bisherige Variante. Es geht übrigens gar nicht um die Beschreibung eines natürlichen Sättigungsprozesses, sondern um die Gewichtung von Daten an einer Wahnehmungsschwelle. Bei Werten bis in diesem Fall 3,5 kommt es auf Genauigkeit an, darüber findet aber kaum noch eine Wahrnehmungsveränderung statt (ist ein neurologisches Phenomän). Da allerdings verschiedene Werte addiert werden müssen, geht es darum, die feinen wichtigen Nuancen in den Summanden bis 3,5 nicht von größeren aber weniger relevanten Schwankungen in Summanden über 3,5 zu überdecken. Der gesuchten Funktion werde ich übrigens einen Summanden "-x" anhängen, sodass sie sich als Offset zunächst an die x-Achse schmiegt um dann nach unten abzuknicken. Anschließend wird jeder Summand der oben genannten Summe einmal anstelle von x durchgenudelt. Und diese Summanden sind allesamt selbst dreidimensionale Betrags- und Wurzelfunktionen. Wird also insgesamt eine ganz schöne Wurst an Zahlen und Buchstaben. Ich bin mir auch nicht sicher, ob es für mein Anliegen nicht eine komplett andere und viel simplere Lösung gibt, also falls jemand einen Ausführungen folgen konnte und noch eine Idee hat, wäre mir unter Umständen sehr geholfen. Habe ich mich einigermaßen verständlich ausgedrückt oder liest sich das wie Bahnhof?
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06.03.2011, 21:25	mYthos	Auf diesen Beitrag antworten »
Für mich --> Bhf. Sorry. mY+
06.03.2011, 22:53	ToniAkustik	Auf diesen Beitrag antworten »
OK, nochmal etwas strukturierter: Es geht um Wahnehmungsprozesse. Ich habe eine dreidimensionale Funktion, die aus mehreren Summanden besteht. Alle Summanden stehen für je eine wahrzunehmende Größe. Alle Summanden stehen in Betragsstrichen, sie sind also immer positiv. Bei der Wahrnehmung verhält es sich nun so, dass bis zu einem Wert von etwa 3,5 schon kleine Unterschiede eine Menge ausmachen, über 3,5 lässt die Wahrnehmung aber erheblich nach, die Unterschiede werden deutlich unwichtiger. In der Summe sollen aber die unwichtigen größeren Unterschiede die wichtigen kleinen nicht unmaßgeblich machen, daher möchte ich die Summanden einzeln "sättigen", bzw. "komprimieren" oder "limitieren". Summanden größer als 5 muss es nicht geben, aber da die ungesättigten Werte die 10 selten überschreiten werden, ist es nicht so wichtig, ob 5 der Grenzwert ist oder ob die Kurve nur immer flacher wird. Die Feinjustage soll auch erst später kommen. Wie kann ich diesen Sättigungs-Effekt erzielen? Meine Ursprungsfunktion sei: g(x;y)=h(x;y)+j(x;y) Mit den bisher aufgeführten Funktionen f(a) bin ich verfahren wie folgt: g*(x;y)=f(h(x;y))+f(g(x;y)) Das Sternchen steht in diesem Fall für "gesättigt". Das f, das ich bisher habe, erfüllt diese Aufgabe zwar in etwa, entspricht allerdings noch nicht genau dem, was zur Erfassung des Wahrnehmungsprozesses sinnvoll wäre. Ich bräuchte wie gesagt einen noch längeren "linearen" Bereich und einen stärkeren "Knick" an der Sättigunsgrenze. Jetzt ist es klarer, oder? Danke für jede Sekunde, die ihr euch mit meinen Problemen beschäftigt!!!
07.03.2011, 17:10	Dopap	Auf diesen Beitrag antworten »
auch ich kann deinen Erklärungen nicht folgen. Bleiben wir deshalb bei f(x). Nachdem meine Vorschläge immer noch nicht passend sind, fällt mir noch die Modellierung mittels Polynom ein, falls die Funktion nach 3.5 nicht mehr allzuweit fasst waagrecht verlaufen soll . Probier mal f(x)=0.00653x^4-0.08937x^3+0.27144x^2+0.77025x+0.028 Wenn du eine Liste von Punkten ( ca. 20 bis 40 Stück) der gewünschten Funktion postest, kann ich ein Approximationspolynom vom gewünschten Grade erstellen.
07.03.2011, 18:19	ToniAkustik	Auf diesen Beitrag antworten »
Vielen Dank! Das Polynom hat zwar einen schönen Knick, aber geht in der Tat zu früh anders weiter. Ich habe mit jetzt mit einer Gaussschen Glockenkurve weitergeholfen, die ich zu einer logistischen Funktion addiert habe. Ich bin mit dem Ergebnis ganz zufrieden, was meint ihr? $\begin{eqnarray} \frac{10}{1+e^{-0,4x}}-5+0,3e^{-0,5(x-3,5)^2} \end{eqnarray}$
07.03.2011, 18:41	Dopap	Auf diesen Beitrag antworten »
nicht schlecht, Respekt! Damit hast du die goldene Funktionsmodellierungsmedaille am Bande verdient. edit: diese Funktion kommt in meine Sammlung ausgesuchter Funktionen. Meine Schüler werden Ihre helle Freude d'ran haben!
07.03.2011, 18:52	ToniAkustik	Auf diesen Beitrag antworten »
Danke, aber die gebührt eher dir für die tolle Unterstützung!
08.03.2011, 12:05	mYthos	Auf diesen Beitrag antworten »
Damit man auch sieht, wie das schöne Ding aussieht: mY+

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