Konvergenzverhalten einer alternierenden Reihe...

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05.03.2011, 15:29	bbutzemann	Auf diesen Beitrag antworten »
Konvergenzverhalten einer alternierenden Reihe... Hallo! Ich soll folgende Reihe auf Konvergenz und absolute Konvergenz untersuchen: $\begin{eqnarray} \sum\limits_{n=0}^\infty (-1)^{n+1} \frac{(n+1)^{n+1}}{n^{n+2}} \end{eqnarray}$ Da es eine alternierende Reihe ist nehme ich das Leibnitzkriterium, schaue also ob $\begin{eqnarray} \frac{(n+1)^{n+1}}{n^{n+2}} \end{eqnarray}$ eine monoton fallende Nullfolge ist. Bei $\begin{eqnarray} \lim\limits_{n\rightarrow \infty} \frac{(n+1)^{n+1}}{n^{n+2}} \end{eqnarray}$ weiss ich aber nicht wie ich da weitermachen soll... Mein Ansatz war das auf $\begin{eqnarray} \frac{(n+1)^n(n+1)}{n^nn^2} \end{eqnarray}$ umzuformen, aber so richtig weitergebracht hat mich das jetz auch nicht...
05.03.2011, 15:32	Iorek	Auf diesen Beitrag antworten »
Magst du die Reihe bitte mal ordentlich aufschreiben? In deinen weiteren Rechnungen tauchen irgenwelche Sachen auf, wo man nicht weiß wo diese auf einmal herkommen.
05.03.2011, 15:39	bbutzemann	Auf diesen Beitrag antworten »
sorry, hab in der angabe irgendwie die Formatierung zerstört und nicht gesehen hab den Beitrag jetzt editiert!
05.03.2011, 15:54	Iorek	Auf diesen Beitrag antworten »
Klammer im Zähler die größte Potenz von n aus, dann lässt sich eine Abschätzung finden. Übrigens sollte deine Reihe wohl bei n=1 starten, nicht wie von dir angegeben bei n=0.
05.03.2011, 16:30	bbutzemann	Auf diesen Beitrag antworten »
meinst du das so?: $\begin{eqnarray} \frac{(n+1)^{n+1}}{n^{n+2}} =\frac{1}{\frac{n^{n+2}}{(n+1)^{n+1}} } \end{eqnarray}$ dann würde ich schätzen, dass n^(n+2) schneller wächst als (n+1)^(n+1) und der Grenzwert somit 0 wäre...
05.03.2011, 16:35	Iorek	Auf diesen Beitrag antworten »
Nein, damit hast du das nur umgedreht. Du sollst im Zähler ausklammern.
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05.03.2011, 16:41	bbutzemann	Auf diesen Beitrag antworten »
kannst du mir bitte zeigen wie das geht? Ich komm grad absolut nicht drauf, wie ich aus (n+1)^(n+1) n ausklammern kann...?
05.03.2011, 16:42	Iorek	Auf diesen Beitrag antworten »
$\begin{eqnarray} n+1=n(1+\frac 1n) \end{eqnarray}$
05.03.2011, 17:03	bbutzemann	Auf diesen Beitrag antworten »
ok dann steht da $\begin{eqnarray} \frac{(n(1+\frac{1}{n}))^{n+1} }{n^{n+2}} \end{eqnarray}$ Seh ich das richtig, dass ich da jetzt sagen kann: Wenn n gegen unendl. geht wird 1/n zu 0, also hab ich dann $\begin{eqnarray} \frac{n^{n+1}}{n^{n+2}} \end{eqnarray}$ wobe n^(n+2) sicher schneller wächst und der Grenzwert dadurch 0 ist?
05.03.2011, 17:09	Iorek	Auf diesen Beitrag antworten »
Nein, bisher kannst du noch gar nichts sagen, du kannst jetzt mit den Potenzgesetzen weiter umformen und kürzen.
05.03.2011, 17:55	bbutzemann	Auf diesen Beitrag antworten »
also wenn ich da jetzt weiter vereinfache komm ich auf $\begin{eqnarray} \lim_{n \to \infty} (1+\frac{1}{n})^n(1+\frac{1}{n})\frac{1}{n} =0 \end{eqnarray}$ stimmt das?
05.03.2011, 17:57	Iorek	Auf diesen Beitrag antworten »
Wie begründest du denn den Grenzwert? Ein paar Zwischenschritte sind schon nicht schlecht.
05.03.2011, 18:09	bbutzemann	Auf diesen Beitrag antworten »
$\begin{eqnarray} \frac{(n(1+\frac{1}{n}))^{1+n} }{n^{n+2}} = \frac{(n(1+\frac{1}{n}))^n(n(1+ \frac{1}{n})) }{n^nn^2} = (\frac{n(1+\frac{1}{n}) }{n})^n \cdot \frac{n(1+\frac{1}{n}) }{n} \cdot \frac{1}{n} =(1+\frac{1}{n})^n \cdot (1+\frac{1}{n} )\cdot \frac{1}{n} \end{eqnarray}$ und da 1/n=0 wird ist der Grenzwert 0.
05.03.2011, 18:19	Iorek	Auf diesen Beitrag antworten »
1/n=0 ist Murks, auch wenn du es zur Umschreibung verwendest, wenn schon dann bitte $\begin{eqnarray} \lim\limits_{n\to\infty} \frac 1n=0 \end{eqnarray}$ .
05.03.2011, 18:58	bbutzemann	Auf diesen Beitrag antworten »
hast recht, ich sollte etwas genauer anschreiben... aber stimmts ansonsten? Wenn ja muss ich ja jetzt noch zeigen, dass die Folge monoton fallend ist... also $\begin{eqnarray} a(n+1)\leq a(n) \end{eqnarray}$ beweisen... Kann ich da mit vollständiger Induktion arbeiten oder gibts eine einfachere möglichkeit?

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