Punkte auf einem Kreis |
| 05.03.2011, 17:31 | Bernadette | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
| Punkte auf einem Kreis ich habe in einem Buch folgende Aufgabe gefunden. Wie gross ist die Wsk, dass n Punkte die zufaellig und gleichfoermig auf einem Kreis verteil liegen in einem Halbkreis liegen. Die gaengige Loesung fuer dieses Problem ist P = n/2^(n-1). (Nimm einen der Punkte und betrachte den Halbkreis im Urzeigersinn von diesem Punkt ausgehend. Die Wsk, dass alle anderen Punkte in diesem Halbkreis liegen ist 1/2^(n-1). Es gibt n Punkte, also folgt P = n/2^(n-1). Diese Loesung ist einzusehen aber ich verstehe noch nicht, wieso mein Ansatz falsch ist: Man stelle sich vor die Punkte werden nacheinander zufaellig auf den Kreis aufgetragen. Die ersten zwei Punkte definieren zwangsweise den zu betrachtenden Halbkreis (die Wks, dass der zweite Punkt genau gegenueber dem ersten liegt ist gleich Null). Die Wsk, dass die folgenden n-2 Punkte auch in diesem Halbkreis liegen ist 1/2^(n-2). Daher P=1 wenn n<=2 und P = 1/2^(n-2) sonst. |
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| 05.03.2011, 18:24 | Math1986 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
| RE: Punkte auf einem Kreis Ich verstehe diese Aufgabenstellung nicht 
Wenn ich einen, zwei oder auch mehrere Punkte habe dann wird dadurch noch kein eindeutig bestimmter Halbkreis festgelegt. Wenn ich zB zwei Punkte habe die (vom Mittelpunkt aus betrachtet) einen Winkel von 30° bilden, dann kann ich den Halbkreis so wählen dass Punkt 1 auf der Begrenzungsgerade des Halbkreises liegt oder dass Punkt 2 auf der Begrenzungsgerade des Halbkreises liegt. Nach dieser Interpretation der Aufgabenstellung erhalten wir eine dritte, wesentlich schwieriger zu berechnende Lösung Daher verstehe ich bei beiden Aufgaben den Lösungsweg nicht, nach welchen Kriterien wird denn der Kreis gewählt? Der Unterschied zwischen Lösung 1 und Lösung 2 ist der, dass in Lösung 1 der Halbkreis im Uhrzeigersinn festgelegt ist, während er bei Lösung 2 irgendwie so gewählt wird dass er 2 Punkte einschliesst. Wenn also der zweite Punkt im Uhrzeigersinn betrachtet mehr als 180° vom ersten Punkt entfernt liegt dann wäre das im Sinne von Lösung 1 nicht gültig, im Sinne von Lösung 2 hingegen schon 
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| 05.03.2011, 18:43 | Bernadette | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Mir ist gerade ein Licht aufgegangen. Mein Ansatz war falsch da eben, wie du richtig sagst, kein einziger moeglicher Halbkreis durch zwei Punkte definiert wird sondern zwei (In dem die restlichen Punkte liegen muessen). Das Ziel ist ja die Frage zu beantworten die nichts weiter vorgibt als die Tatsache, dass die Punkte gleichverteilt auf dem Kreis liegen. Daher ist der erste Ansatz richtig. |
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| 05.03.2011, 18:56 | Math1986 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Wenn ich nun nur 2 Punkte habe, dann werfe ist zunächst den einen. Dadurch lege ich den Halbkreis im Urzeigersinn fest. Was ist, wenn der nächste Punkt nun 5° gegen den Uhrzeigersinn vom ersten Punkt aus landet? Dann wäre das doch laut Variante 1 keine gültige Lösung, obwohl beide auf einem Halbkreis liegen
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| 05.03.2011, 19:18 | Bernadette | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Ja die Erklaerung ist auch irgendwie seltsam. (Finde ich aber ueberall im internet dazu): h t t p : //sbjoshi.wordpress.com/2009/10/04/puzzle-semi-circle-covering-n-points/ Hier werden irgendwie Wahrscheinlichkeit und Tatsachen vermischt. Wenn du einen Punkt zufaellig festlegst, dann ist die Wahrscheinlichkeit, dass der naechste in dem Halbkreis (Uhrzeigersinn) davon liegt =0,5. Wenn er dann aber 5 Grad entgegen des Urzeigersinnes liegt, sollst du auch diesen Punkt mitbetrachten und die "Wahrscheinlichkeit" ermitteln, dass der erste Punkt in dem Halbkreis im Urzeigersinn ausgehend von zweiten Punkt liegt. Dieser liegt dann mit Sicherheit drinnen, aber eine Wahrscheinlichkeit ist das nicht mehr, eher ein Fakt. Das Ergebnis ist trotzdem korrekt P = n/2^(n-1), wie man leicht durch Simulation feststellen kann. |
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| 05.03.2011, 19:35 | Math1986 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Ja, so hat die Erklärung auch Sinn 
Man nehme zB den ersten Punkt und lege im Uhrzeigersinn einen Halbkreis um diesen: Die Wahrscheinlichkeit, dass die restlichen n-1 Punkte in diesem Kreis liegen, beträgt Man betrachtet das ganze von jedem Punkt ausgehend, so dass man alle möglichen Halbkreise abdeckt (wenn es einen solchen Halbkreis gibt so können wir ihn so wählen, dass er von einem Punkt aus im Uhrzeigersinn verläuft) also |
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