Produktintegration

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05.03.2011, 17:38	MatheNoobiDo	Auf diesen Beitrag antworten »
Produktintegration Meine Frage: hallo, komme beim folgenden integral nicht weiter. ich hoffe ihr könnt mir helfen,schreibe bald vorabi ((((( integral (ln(x)+1) / x Meine Ideen: mein ansatz: produktintegration uv - integral u`v u= ln(x)+1 u`= 1/x v´= 1/x v= ln(x) = [ln²(x)-ln(x)] - integral ln(x) 1/x \|\| nochmal integrieren = [ln²(x)-ln(x)] - [ ln²(x)] + integral ln(x)1/x \|\| das integral kommt immer wieder vor, es muss doch ein trick geben, es auf die andere seite zu holen und die stammfunktion dann bestimmen zu können.
05.03.2011, 17:42	MatheMathosi	Auf diesen Beitrag antworten »
Du könntest das durch Substitution lösen, falls ihr das gehabt habt.
05.03.2011, 17:54	Schweinski	Auf diesen Beitrag antworten »
Schau' doch mal. Deine Gleichung nach der ersten partiellen Integration lautet also: integral (ln(x)+1) / x = [ln²(x)-ln(x)] - integral ln(x) 1/x Dann kannst du auf beiden Seiten + integral ln(x) 1/x rechnen. So erhälst du: 2*integral (ln(x)+1) / x = [ln²(x)-ln(x)] Und dann noch den Rest per Termumformung. Oder mache ich selbst gerade einen Fehler?
05.03.2011, 17:57	MatheNoobiDo	Auf diesen Beitrag antworten »
das bringt mich auch nicht weiter ln(x)+1 / x f(z)= z u(x)= ln(x)+1 u`(x)= 1/x = f(z) = [xln(x)-x + x] = [x ln(x)] lösung ist aber F (x) = 1/2 *(1+ ln x)² +c
05.03.2011, 17:59	MatheNoobiDo	Auf diesen Beitrag antworten »
der nenner ist doch anders :S linke seite ln(x)+1) /x rechte seite: nachdem man integriert erhält man integral ln(x) /x
05.03.2011, 18:01	MatheMathosi	Auf diesen Beitrag antworten »
Ja es steht ja mit partielle Integration folgendes da: $\begin{eqnarray} <br /> <br /> \int_a^b \! \frac{ln(x)+1}{x}dx = \left[(ln(x)+1) \cdot ln(x)\right]^{a}_{b} - \int_a^b \! \frac{1}{x} \cdot ln(x) \, dx <br /> <br /> \end{eqnarray}$ Hast du denn schonmal Substitution gemacht ? Damit ist es eigentlich ganz leicht
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05.03.2011, 18:02	MatheNoobiDo	Auf diesen Beitrag antworten »
ja genau das habe ich bei der produktintegration auch raus substituion schaue mal paa einträge vorher bekomme da was ganz komisches raus x* ln(x) ist ja auch falsch :S F (x) = 1/2(1+ ln x) ²+ C laut lösungsbuch :S
05.03.2011, 18:03	MatheNoobiDo	Auf diesen Beitrag antworten »
ja aber was mache ich dann? wenn ich weiter integriere kommt immer dasselbe integral raus ln(x) / x -> bei der produktintegration :S
05.03.2011, 18:03	MatheMathosi	Auf diesen Beitrag antworten »
Deine Substitution mit u(x) = ln(x) + 1 ist schon mal richtig. Jetzt musst du bedenken: $\begin{eqnarray} <br /> <br /> dx = \frac {1}{u'(x)} \cdot du<br /> <br /> \end{eqnarray}$
05.03.2011, 18:04	Schweinski	Auf diesen Beitrag antworten »
Sorry, ohne den Formeleditor ist das leicht zu übersehen. Kleine Frage für zwischendurch: Muss man nach der Integration eigentlich diese eckigen Klammern setzen? Also hier im Folgenden: $\begin{eqnarray} <br /> <br /> \int_a^b \! \frac{ln(x)+1}{x}dx = \left[(ln(x)+1) \cdot ln(x)\right]^{a}_{b} - \int_a^b \! \frac{1}{x} \cdot ln(x) \, dx <br /> <br /> \end{eqnarray}$ Ist das so konform?
05.03.2011, 18:05	MatheNoobiDo	Auf diesen Beitrag antworten »
(ln(x) + 1) * 1/x dx = ln(x)+1 dx = [x*ln(x)-x + x] oder mache ch hier was falsch?
05.03.2011, 18:06	MatheNoobiDo	Auf diesen Beitrag antworten »
ja . eckige klammer sind pflicht, so habe ich es gelernt
05.03.2011, 18:07	MatheMathosi	Auf diesen Beitrag antworten »
Ja musst du schon, da du die Grenzen ja noch nicht eingesetzt hast. Es gibt natürlich auch noch andere Notationen wie z.B. $\begin{eqnarray} <br /> \int_a^b \! \frac{ln(x)+1}{x}dx = (ln(x)+1) \cdot ln(x)\|^{a}_{b} - \int_a^b \! \frac{1}{x} \cdot ln(x) \, dx <br /> \end{eqnarray}$ je nachdem wie ihr es halt in der Schule gemacht habt.
05.03.2011, 18:08	MatheNoobiDo	Auf diesen Beitrag antworten »
MatheMathosi ist mein rechnungsweg richtig?
05.03.2011, 18:10	MatheMathosi	Auf diesen Beitrag antworten »
@MatheNoobiDo Ich weiss ehrlich gesagt nicht was du da machst Willst du das jetzt durch Substitution lösen ? Dann schau mal was ich geschrieben habe deine Substitution war ja schon richtig. Du kannst natürlich jetzt nicht die ganze Funktion so ersetzen
05.03.2011, 18:12	MatheNoobiDo	Auf diesen Beitrag antworten »
hm...substitution ist nicht so mein ding,könntest du mir es vllt vorrechnen? habe es sowieso noch nie richtig hinbekommen :S
05.03.2011, 18:16	MatheMathosi	Auf diesen Beitrag antworten »
Also du hast doch schon richtig substituiert mit $\begin{eqnarray} <br /> <br /> u(x) = ln(x) + 1<br /> <br /> \end{eqnarray}$ Dein Integral sieht ja so aus $\begin{eqnarray} <br /> <br /> \int_a^b \! \frac{ln(x)+1}{x}dx<br /> <br /> \end{eqnarray}$ Dann hatte ich dir ja gesagt das folgendes gilt : $\begin{eqnarray} <br /> <br /> dx = \frac {1}{u'(x)} \cdot du<br /> <br /> \end{eqnarray}$ Also leite doch mal u(x) ab und setze es ein und schau mal ob es dir weiterhilft.
05.03.2011, 18:22	MatheNoobiDo	Auf diesen Beitrag antworten »
hmm... schreibt man die ableitung niicht wie folgt hin U=ln(x)+1 u`=1/x f(z) = z F(z)= 1/2 z² (ln(x)+ 1) * 1/x * dx = f(u(x)*u`(x)) dx =f(z) = 1/2[ln(x)+1]² ah geil super danke
05.03.2011, 18:24	MatheNoobiDo	Auf diesen Beitrag antworten »
aber man kann das auch mit produktintegration machen,aber die frage ist wie :S
05.03.2011, 18:34	MatheMathosi	Auf diesen Beitrag antworten »
Ok wenn du drauf gekommen bist ist ja gut, wobei ich das etwas verwirrend finde wie du das da machst. Keine ahnung wo jetzt z herkommt ich schreibe das gerade nochmal auf. $\begin{eqnarray} <br /> <br /> Sei \ u(x) = ln(x) + 1 \\ \Rightarrow<br /> u'(x) = \frac {1}{x} \\<br /> <br /> Darus \ folgt: \\<br /> <br /> \int_a^b \! \frac {u(x)}{x} \, dx \\<br /> <br /> und \ mit \ dx = \frac {1}{u'(x)} \cdot du \\<br /> <br /> \int_a^b \! \frac {u(x)}{x} \cdot x \, du \\ \Rightarrow<br /> <br /> \int_a^b \! u(x) \, dx \\<br /> <br /> Also \ ist \ dann \ F(x) = \left[\frac{u^{2}}{2} \right]^{a}_{b} = \frac{1}{2} \cdot (ln(x)+1)^2 <br /> <br /> \end{eqnarray}$
05.03.2011, 18:41	MatheMathosi	Auf diesen Beitrag antworten »
Ich glaube um das substituieren wirst du nicht rum kommen. Bei deiner partiellen Integration müsstest du eben den hintern Term substituieren.

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