Lineare Abhängigkeit bei unbekannten?

05.03.2011, 19:45

Laren0815

Lineare Abhängigkeit bei unbekannten?

Hi,

Eigentlich weis ich schon, wie ich auf lineare Unabhängigkeit prüfe(ich mache es immer über Gauß), aber bei dieser Aufgaben, komm ich nicht drauf, wie ich da anfangen soll.

1.) Zeigen Sie:

Sind a, b und c beliebige Vektoren,so sind die Vektoren a-b, b-c und c-a linear abhängig

Ich habe da wircklich gar keinen Ansatz

Viele Grüße

05.03.2011, 19:46

MatheMathosi

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Es gibt doch auch die Definition von linearer Unabhängigkeit. Mit der musst du hier arbeiten. Kennst du sie ?

05.03.2011, 20:08

Laren0815

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Wenn a1*v1+a2*v2....an*vn=0

v1=Vektor
a1=Vorzahl

nur erfüllt ist wenn a1 bis an = 0 ist, dann sind die vektoren linear unabhängig.
Stimmt doch,oder? Augenzwinkern

05.03.2011, 20:09

MatheMathosi

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ja genau.

Jetzt musst du halt überprüfen, ob das für deine Vektoren erfüllt ist.

05.03.2011, 20:14

Laren0815

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Ist die Lösung also
da a-b = c
b-c = -a
c-a =-b
ist, sind die Vektoren linear abhängig?

05.03.2011, 20:19

MatheMathosi

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Ich glaube nicht bzw. weiss ich jetzt nicht genau wie du darauf gekommen bist.
Es gilt ja für linaere unabhängigkeit:

$\begin{eqnarray*} \lambda_1 \cdot a + \lambda_2 \cdot b + \lambda_3 \cdot c = 0 \end{eqnarray*}$

Wenn du jetzt mal deine gegebenen Vektoren betrachtest hast du ja

$\begin{eqnarray*} \lambda_1 \cdot (a-b) + \lambda_2 \cdot (b-c) + \lambda_3 \cdot (c-a) = 0 \end{eqnarray*}$

Die Vektoren sind ja linear unabhängig wenn nur die triviale Lösung also Lambda = 0 die Gleichung erfüllt.
Ist das denn so ?

05.03.2011, 20:38

Reksilat

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Zitat:

Original von MatheMathosi
Es gilt ja für linaere unabhängigkeit:

$\begin{eqnarray*} \lambda_1 \cdot a + \lambda_2 \cdot b + \lambda_3 \cdot c = 0 \end{eqnarray*}$

Diese Aussage ist völlig unverständlich, solange Du nicht sagst, was die $\begin{eqnarray*} \lambda_i \end{eqnarray*}$ sein sollen und was für diese gelten soll.

Variablen sollten in der Mathematik immer sinnvoll eingeführt werden. Das Wörtchen "sei" ist dazu nahezu unverzichtbar.

Gruß,
Reksilat.

05.03.2011, 20:41

Laren0815

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wenn $\begin{eqnarray*} ~\lambda \end{eqnarray*}$ 1, $\begin{eqnarray*} ~\lambda \end{eqnarray*}$ 2, $\begin{eqnarray*} ~\lambda \end{eqnarray*}$ 3
0 ist schon, oder?

05.03.2011, 20:50

MatheMathosi

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@ laren0815

Ja genau, aber gilt das denn noch für andere Lambda, dann wären die Vektoren ja linear unabhängig.

@Reksilat

Naja wollen wir mal nicht päpstlicher als der Papst sein.
Ob

$\begin{eqnarray*} \lambda \in \mathbb{R} \ oder \ \lambda \in \mathbb{K} \end{eqnarray*}$

oder worin auch immer, ist denke ich nicht ausschlaggebend für das Verständnis der Aufgabe aus der dies auch nicht hervorgeht zumindest nicht von dem was geschrieben wurde.

05.03.2011, 20:51

MatheMathosi

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quatsch dann wären die Vektoren natürlich linear abhängig.sry.

05.03.2011, 20:59

Reksilat

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@MatheMathosi:
Ich sprach auch nicht auf irgendeinen Wertebereich an. Das was Du geschrieben hast, war schlicht und ergreifend Blödsinn.

Lineare Unabhängigkeit von drei Vektoren $\begin{eqnarray*} v_1,v_2,v_3 \end{eqnarray*}$ heißt nicht $\begin{eqnarray*} \lambda_1v_1+\lambda_2v_2+\lambda_3v_3=0 \end{eqnarray*}$ , sondern:

Wenn (für $\begin{eqnarray*} \lambda_i\in K \end{eqnarray*}$ ) $\begin{eqnarray*} \lambda_1v_1+\lambda_2v_2+\lambda_3v_3=0 \end{eqnarray*}$ ist, dann folgt $\begin{eqnarray*} \lambda_1=\lambda_2=\lambda_3=0 \end{eqnarray*}$ .

Das ist etwas vollkommen anderes. Wenn Du das nicht erkennst, solltest Du auch nicht versuchen, das jemand anderem verständlich zu machen.

Der Beweisansatz ist hier:
Seien $\begin{eqnarray*} \lambda_1,\lambda_2,\lambda_3\in K \end{eqnarray*}$ , mit $\begin{eqnarray*} \lambda_1 \cdot (a-b) + \lambda_2 \cdot (b-c) + \lambda_3 \cdot (c-a) = 0 \end{eqnarray*}$ .
Zeige, dass daraus folgt: $\begin{eqnarray*} \lambda_1=\lambda_2=\lambda_3=0 \end{eqnarray*}$

05.03.2011, 21:04

MatheMathosi

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Naja ich habe das wenn du meinen dritten Beitrag liest auch so geschrieben. Zwar nicht ganz so mathematisch wie du( bzw. habe ich es beim ersten Ausdruck vergessen) , aber ich denke verständlich genug.

Ich überlasse dir gerne das Feld wenn du meinst es besser erklären zu können. Gott

05.03.2011, 21:15

Laren0815

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Ich schreibst jetzt einfach mal so Augenzwinkern

$\begin{eqnarray*} \alpha*(a-b)+\beta*(b-c)+\gamma*(c-a) \end{eqnarray*}$

aber was wäre, wenn jetzt $\begin{eqnarray*} \alpha,~\beta,~\gamma = 0 \end{eqnarray*}$ wäre?

da gäbe es doch folgenden Fall:

$\begin{eqnarray*} \alpha*(a-b)+\beta*(b-c)+\gamma*(c-a)=0 \end{eqnarray*}$

und damit wären die Vekotren wieder linear unabhängig.

05.03.2011, 21:21

Reksilat

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@MatheMathosi:
Der Teil, welchen ich zitiert habe, war unverständlich und verwirrend. Es kommt auch nicht darauf an, ob ich mir denken kann, was gemeint ist.
Deine Signatur ist für mich übrigens ein Bild des Grauens. unglücklich

@Laren:
Du musst doch erst zeigen, dass die Koeffizienten Null werden.
Die Voraussetzung ist: $\begin{eqnarray*} \alpha*(a-b)+\beta*(b-c)+\gamma*(c-a)=0 \end{eqnarray*}$
Das kannst Du mal ein wenig umsortieren (zum Beispiel nach $\begin{eqnarray*} a,b,c \end{eqnarray*}$ mit entsprechenden Vorfaktoren ordnen).
Dann hilft die Voraussetzung, dass $\begin{eqnarray*} a,b,c \end{eqnarray*}$ linear unabhängig sind weiter.

Gruß,
Reksilat.

05.03.2011, 21:31

MatheMathosi

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@Reksilat

Du hast recht, ich werde die Signatur ändern. Das stört das Gesamtbild.

Übrigens ist dein Beweisansatz auch nicht gerade weniger verwirrend, da hier ja die lineare abhängigkeit gezeigt werden soll und nicht die lineare unabhängigkeit.

so far

Hab dich lieb und gute Nacht Mit Zunge

05.03.2011, 22:02

Reksilat

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Oh man! Jetzt habe ich echt den ersten Beitrag fast völlig überlesen. Hast recht, meine Gedanken gingen hier in eine völlig andere Richtung - ich habe mir quasi eine eigene Aufgabe (mit völlig falscher Aussage) anhand der Beiträge 2 bis ... gebastelt.
Hammer

Tut mir leid!

Ja, es ist die lineare Abhängigkeit zu zeigen. Es ist zu zeigen, dass es eine Belegung für $\begin{eqnarray*} \alpha,\beta,\gamma \end{eqnarray*}$ gibt, die nicht komplett aus Nullen besteht.
Diese ist mit ein wenig Probieren leicht zu finden.

Gruß,
Reksilat.

bzgl. Sig: Danke!

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