Satz von Cauchy-Hadamard

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Taladan Auf diesen Beitrag antworten »
Satz von Cauchy-Hadamard
Hallo,

ich versuche geraden den Satz von Cauchy-Hadamard zu lernen, leider ist die Erklärung die ich habe für mich nicht verständlich ausgedrückt. Kennt jemand eine "einfache Erklärung" dafür bzw eine Seite die das verständlicher erklärt. Google war diesmal leider nicht mein Freund. Gefunden habe ich kaum eine Erklärung außer die von Wiki, die für mich in mathemathischen Dingen meist noch unverständlicher ausgedrückt ist.
Ibn Batuta Auf diesen Beitrag antworten »

Ich vermute, daß es mal um den Satz über den Konvergenzradius geht, oder?

Der Konvergenzradius der Reihe ist , wenn existiert. Gilt , so setze . Gilt , so setze .

Was ist genau unklar?


Ibn Batuta
Airblader Auf diesen Beitrag antworten »

Kurze Anmerkung: In der allgemeineren Aussage kannst du die Voraussetzung der Existenz des Grenzwertes streichen und ersetzt den Limes durch den limsup.

air
Ibn Batuta Auf diesen Beitrag antworten »

Stimmt. Danke für die Anmerkung, air!


Ibn Batuta
Taladan Auf diesen Beitrag antworten »

Was bedeutet den wofür steht z?

Ich soll bei der Potenzreihe für alle mit die Konvergenz beweisen.
Das Quotientenkrieterium ist nicht anwendbar, oder? Weil hier ein Radius gewählt wurde, oder?
Wenn ich das jetzt richtig verstehe muß ich das folgendermaßen machen.
, korrekt? oder muß das x^n raus aus dem Betrag?
Ibn Batuta Auf diesen Beitrag antworten »

ist .

Gegeben hast du die Potenzreihe . Was ist hier der Entwicklungspunkt? Erkennst du diesen?



Was ist hier dein ? Weißt du das?


Ibn Batuta
 
 
Taladan Auf diesen Beitrag antworten »

Entwicklungspunkt. Leider nein.

Bei ich hätte jetzt .

z ist also in diesen Falle ?
Ibn Batuta Auf diesen Beitrag antworten »

Der Entwicklungspunkt ist , da ist.

ist korrekt.

ist in diesem Falle , wobei ist.
Dann rechne doch mal den Konvergenzradius aus.


Ibn Batuta
Taladan Auf diesen Beitrag antworten »

Ups falscher knopf.
Taladan Auf diesen Beitrag antworten »

Dumme Frage, was ist genau der Entwicklungspunkt. Deine Formel ist klar, aber ich verstehe noch nicht was der Entwicklungspunkt aussagen soll.

Probiere ich es mal:


Ich würde eine nebenrechnung Probieren um die Wurzel erst mal zu verinfachen.

da n >= 0


Wenn ich das Richtig verstanden habe, muß ich nun den Limes berechnen. Denn Lim Sup = Lim Inf = Lim

Also ist der Konstant und ebenfalls konstant . Also zusammen ist der Limes 1/10. Ist das korrekt? Fehlt etwas?
Ibn Batuta Auf diesen Beitrag antworten »

Deine Vorgehensweise ist sehr unorthodox, wenn auch nicht falsch. Du bekommst also für raus. Was ist also ?


Ibn Batuta
Taladan Auf diesen Beitrag antworten »

10? Da 1 / 1/10 = 10
Ibn Batuta Auf diesen Beitrag antworten »

Ja.


Ibn Batuta
Taladan Auf diesen Beitrag antworten »

Danke dann habe ich das soweit verstanden, hoffe ich. Aber noch eine abschließende Frage: Wie kann man damit nun auf Konvergenz schließen?
Ibn Batuta Auf diesen Beitrag antworten »

Als Konvergenzradius einer Potenzreihe der Form ist die größte Zahl definiert, für welche die Potenzreihe für alle mit konvergiert. Bei deiner Potenzreihe ist und (Entwicklungspunkt!). Also konvergiert die Potenzreihe in (vgl. Definition):




Ibn Batuta
Airblader Auf diesen Beitrag antworten »

Nochmal eine Anmerkung zu

Zitat:
Denn Lim Sup = Lim Inf = Lim


Dies gilt aber nur dann, wenn der Limes existiert. Es kann durchaus auch vorkommen, dass der Grenzwert nicht existiert, sehr wohl aber der Limes superior (der in diesem Fall auch nicht gleich dem Limes inferior ist).

air
Taladan Auf diesen Beitrag antworten »

Ich sitze wieder vor dieser Aufgabe. Nach ein bissl überlegen, bin ich auch wieder den selben weg gegangen und dank euch scheine ich es verstanden zu haben. Aber mir sind noch fragen aufgefallen. In der Aufgabenstellung stand, das man die Konvergenz bis |x|<10 beweisen soll. Wofür ist diese Einschränkung wichtig? Was mache ich mit der Einschränkung?
Ibn Batuta Auf diesen Beitrag antworten »

Hast du diesen Beitrag von mir aufmerksam gelesen?

Satz von Cauchy-Hadamard


Ibn Batuta
Taladan Auf diesen Beitrag antworten »

Ja aber die Erläuchtung kam mir nicht. Dann ist das der Entwicklungspunkt? Wäre das dann hier und ?
Ibn Batuta Auf diesen Beitrag antworten »

Der Entwicklungspunkt dieser Potenzreihe ist . Die Potenzreihe konvergiert für . Für divergiert sie für den Entwicklungspunkt .


Ibn Batuta
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