Differenzierbarkeit

22.06.2004, 09:10

Nicole

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Differenzierbarkeit

Guten Morgen! Wink

Wink

ich weiß, dass eine reelle Funktion f(x) an der Stelle an der Stelle x0 (aus dem Def.Bereich) differenzierbar ist, wenn der Grenzwert

$\begin{align*} \lim_{\delta x \to 0} \frac{f(x_0+\delta x)-f(x_0)}{\delta x} \end{align*}$

existiert. Mir ist auch klar, wie diese Formel zustande kommt.

Ich kann's nur irgendwie nicht anwenden... traurig

traurig

Wenn da jetzt z. B. steht:

Untersuchen die die folgende Funktion an der Stelle x0 = 1 auf Differenzierbarkeit

$\begin{align*} f(x)=\{\array{x^2fuer x\leq 1\\\\(x-2)^2fuer x>1}\ \end{align*}$

Weiß ich nicht wirklich wie ich anfangen soll, besser gesagt: wie ich die Funktion in die Formel oben einsetzen muss um den Grenzwert zu berechnen Hilfe

Hilfe

22.06.2004, 09:26

Gast

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hallo!

xo =1
Links davon wird "delta x" abgezogen, rechts addiert.

22.06.2004, 09:32

Nicole

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$\begin{align*} \lim_{\delta x \to 0} \frac{f(1+\delta x)-f(1)}{\delta x} = \lim_{\delta x \to 0} \frac{f(1+\delta x)-1}{\delta x} \end{align*}$

wie meinst du das: links wird delta x abgezogen rechts addiert?

Und was für ein Ausdruck ist $\begin{align*} f(1+\delta x) \end{align*}$ ?

22.06.2004, 09:37

Gast

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Links von 1 heisst es "1-delta x". ".." wir jeweils für das "x" in der Funfktionsgleichung eingesetzt. Achtung: Diese ist für beide Seiten verschieden.

22.06.2004, 09:45

Nicole

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$\begin{align*} \lim_{\delta x \to 0} \frac{(1-\delta x)-1}{\delta x}=\lim_{\delta x \to 0} \frac{\delta x}{\delta x}=1 \end{align*}$

wieso $\begin{align*} (1-\delta x)-1 \end{align*}$ ?

Wegen $\begin{align*} x\leq 1 \end{align*}$ ?

22.06.2004, 09:51

Nicole

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nicht 1 sondern -1 wegen

$\begin{align*} \frac{-\delta x}{\delta x} \end{align*}$

Wie gehe ich für $\begin{align*} (x-2)^2 \end{align*}$ vor?

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22.06.2004, 09:52

johko

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Es heisst in den Zählern richtig:

$\begin{align*} [(1-\delta x)]^2-1 \end{align*}$

im Nenner musst du dir dann $\begin{align*} -\delta x \end{align*}$ hinschreiben.

Oder du nimmst beide Male das "+" und definierst rechts von 1 Delta x >0 und links von 1 Delta x <0.

und für x>1:

$\begin{align*} [(1+\delta x)-2]^2-1 \end{align*}$

Johko

22.06.2004, 10:06

Nicole

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ich hab das Quadrat vergessen!

$\begin{align*} \lim_{\delta x \to 0} \frac{(1-\delta x)^2 - 1}{\delta x}= -1 \end{align*}$

und für $\begin{align*} x>1 \end{align*}$

$\begin{align*} \lim_{\delta x \to 0} \frac{[(1+\delta x)-2]^2 - 1}{\delta x}= 1 \end{align*}$

Also ist $\begin{align*} f(x) \end{align*}$ nicht differenzierbar an der Stelle $\begin{align*} x_0 = 1 \end{align*}$ .

Ich finde das echt schwer, dass so in die Formel einzusetzen.
Was würde ich denn für

$\begin{align*} f(x)=\frac{sin(x)}{x} \end{align*}$ $\begin{align*} fuer x \neq 0 an der Stelle x_0 = 0 \end{align*}$ einsetzen?

22.06.2004, 10:09

johko

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Die Rechnungen sind falsch - da kommt 2 und -2 raus.

Das sind doch Quadrate - sprich: Binomische Formeln!

22.06.2004, 10:15

Nicole

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Oh Shit, ja klar!

$\begin{align*} \lim_{\delta x \to 0} \frac{1-2*\delta x + (\delta x)^2}{\delta x}= -2\delta x +\delta x = \end{align*}$

22.06.2004, 10:18

Nicole

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$\begin{align*} \lim_{\delta x \to 0} -2\delta x +\delta x = -2 \end{align*}$ ?

müsste da nicht 0 rauskommen?

:P :P :P

22.06.2004, 10:20

johko

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Erstens ist das falsch und zweitens gibt es auch noch einen Nenner zu berücksichtigen. (Der vorletzte Eintrag stimmt noch!)

Edit: Sorry, Ich hatte das Fragezeichen übersehen! Beachte deswegen nur noch ZWEITENS.

22.06.2004, 10:32

Nicole

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$\begin{align*} \delta x \end{align*}$ kann ich ja wegkürzen, dann steht da:

$\begin{align*} \lim_{\delta x \to 0} \frac{1-2*\delta x + (\delta x)^2 -1}{\delta x}= -2 + (\delta x)^2= \end{align*}$

22.06.2004, 10:33

johko

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Und nu noch das Quadrat am Schluß wech, dann hastes..
smile

smile

Das andere Problem geht nicht so einfach. Siehe dazu:

http://www.ies.co.jp/math/java/calc/LimSinX/LimSinX.html

und wenn du dich registrierst, kannst du genau so schön editieren wie ich. Sieht doch irgendwie besser aus...?

smile

smile

Johko

22.06.2004, 10:34

Nicole

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= -2

muss mich mal (neu) registrieren, damit ich die Nachrichten zur Not verbessern kann...hab mein Passwort verschlampt.

22.06.2004, 10:36

Nicole

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DANKE !

Mit Zunge

22.06.2004, 10:37

johko

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DanichfüüüaaaaahhhHHH! Augenzwinkern

Augenzwinkern

22.06.2004, 12:09

SirJective

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Zitat:

Original von Nicole
muss mich mal (neu) registrieren, damit ich die Nachrichten zur Not verbessern kann...hab mein Passwort verschlampt.

Wenn du bei der ersten Anmeldung eine Emailadresse angegeben hast, die jetzt noch gueltig ist, kannst du auch im Login-Fenster auf "Passwort vergessen" klicken. Du bekommst dann ein neues Passwort an die Emailadresse zugeschickt.

22.06.2004, 12:22

Nicocle

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schon erledigt smile

smile

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