Vektorielle Geometrie

06.03.2011, 15:56

Ösi3000

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Vektorielle Geometrie

Meine Frage:
Grüß Gott allerseits.

Eine kleine Frage zur vektoriellen Geometrie habe ich auf dem Herzen:-)
Ich hoffe mir kann jemand helfen. Die Klammerschreibweise soll normalerweiße eien Vektorenschreibweise sein, leider kam ich damit nicht zurecht :-( )

Von den beiden Geraden
g1= (120) + lambda1 (111)
g2= (302) + lambda2 (201)
ist zu überprüfen ob diese windschief sind, es einen Schnittpunkt gibt, sie parallel oder deckungsgleich sind.

Meine Ideen:
Habe dann mit a (kreuz) b begonnen und (11-2) herausbekommen. Aussage: Die Geraden sind windschief oder schneiden sich da ungleich 0.

Nun mit der Abstandsformel d=...... weitergemacht. Da man hier am Endergebnis ja unterscheiden kann ob sie nun windschief sind oder sich schneiden. Ergibt das Ganze =0 haben wir einen Schnittpunkt, ist es ungleich 0 so sind die windschief.

Ist bisher alles korrekt??? Korrigiert mich :-)

Nun eingesetzt:
|a1*(a2x(r2-r1))|
geteilt durch
|a1xa2|
...
(führe nicht alles genau aus...)

steht bei mir dort zum Schluss unter dem Bruchstrich die Wurzel aus 6. Und nun zu meiner Frage:
Über dem Bruchstrich: Steht da die -4 oder +4 ???

Weil im letzten Schritt wird gerechnet: (111)*(2-2-4) = 2+(-2)+(-4)=-4
aber muss das jetzt noch als Betrag oder .....????

Auf jeden Fall ist es ungleich null und daher windschief.

Ich hoffe das Chaos mit der Schreibweise hält sich einigermaßen in Grenzen. ging leider nicht besser. Habt ein Nachsehen mit mir, bin ganz neu smile

smile

habe dann zum schluss dort stehen.

06.03.2011, 16:03

geradengl

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RE: Vektorielle Geometrie
1. Überprüfe ob die Geraden sich schneiden! -> Gleichsetzen!

2. Dann überprüfe, ob die Richtungsvektoren linear abhängig sind oder nicht.

Schnitt + Abhängigkeit: deckungsgleich

Schnitt + Unabhängigkeit: Schnittpunkt

Kein Schnitt + Abhängigkeit: Parallel

Kein Schnitt + Unabhängigkeit: Windschief

06.03.2011, 16:30

Ösi3000

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Danke für die Antwort.
Leider beantwortet das nicht meine Frage.

Ich weiß ja das die windschief zueinander stehen. Mein Anliegen war etwas anderes.

Lg,
Gerald

06.03.2011, 21:28

Ösi3000

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Kann mir jemand helfen? Bereite mich auf eine Klausur vor. Sorry das ich ein wenig drängel.... Gott

Gott

06.03.2011, 23:04

Lucas

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RE: Vektorielle Geometrie
Hallo Ösi3000,

bei dem Abstand deiner windschiefen Geraden ist dir ein Fehler
unterlaufen. Bis dahin war es aber ok.
Geraden sind genau dann windschief, wenn das Kreuzprodukt ihrer Richtungsvektoren $\begin{eqnarray*} \neq \end{eqnarray*}$ 0 ist. Das hast du gemacht.
Windschiefe Geraden sind weder parallel zueinander, noch schneiden sie sich. Sie liegen in zwei verschiedenen zueinander parallelen Ebenen. Der Abstand der Ebenen ist der Abstand der beiden Geraden.
g1: $\begin{eqnarray*} r=r1+\lambda1 *a1 \end{eqnarray*}$
g2: $\begin{eqnarray*} r=r2+\lambda2 *a2 \end{eqnarray*}$
In deiner Formel für d bist du durcheinander gekommen. Schau noch mal genau ins Buch.

Zur Kontrolle: $\begin{eqnarray*} d=\frac{2*\sqrt{6} }{3}= \frac{4}{\sqrt{6} } \end{eqnarray*}$
Lucas

06.03.2011, 23:53

Ösi3000

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Danke für die Antwort. Sehe leider noch nicht genau wo der Fehler liegt.
Habe die Formel genutz:

d=|a1 * (a2 x (r2-r1))|
geteilt durch
|a1xa2|

das ergab dann:

(111) * (201) x (2-22)
geteilt durch Wurzel 6

danach

(111)*(2-2-4)
geteilt durch Wurzel 6

danach

2+(-2)+(-4) = -4

Und jetzt? Da Betrag nehme ich +4 oder nicht. Dann stimmt die Lösung doch.

4/Wurzel6

.....

Lg!

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07.03.2011, 11:03

Lucas

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hallo,
ja, deine Lösung stimmt. Alles richtig. Freude

Freude

Ich hatte, weil ich mit Normalenvektor arbeitete, nicht das gemischte, sondern nur das Kreuzprodukt im Zähler.
Zu deiner Frage : $\begin{eqnarray*} \pm \end{eqnarray*}$
Der Abstand wird immer als Betrag ermittelt.

Gruß Lucas

07.03.2011, 11:22

TimTwice

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Super Danke,
d.h. ein Abstand mit einem - davor ist niemals richtig Freude

Freude

Danke dir

Wink

07.03.2011, 11:53

Lucas

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hallo,

es gilt immer nur der Betrag.

Deine Formel war schlecht zu lesen. hier noch mal die Formel:

$\begin{eqnarray*} d=| \frac{\left(a1\times a2\right)*\left(r2-r1\right) }{| a1\times a2 | }| = | \frac{n*\left(r2-r1\right) }{| a1\times a2 | }|=| \frac{n*\left(r2-r1\right) }{| n | }| \end{eqnarray*}$

Lucas

07.03.2011, 12:08

Ösi3000

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Danke. so ist es übersichtlich.

Darf ich kurz noch 2 Fragen loswerden? Big Laugh

Big Laugh

Bei 2 Geraden. Die setze ich gleich um den Schnittpunkt zu bekommen, oder? Weil das n (a kreuz b) dient doch nur zur Bestimmung ob es einen gibt oder nicht. Sehe ich das richtig?

Und bei den Ebenen siehts genauso aus, ne?

Lg

07.03.2011, 15:10

mYthos

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RE: Vektorielle Geometrie

Zitat:

Original von Lucas
...
Geraden sind genau dann windschief, wenn das Kreuzprodukt ihrer Richtungsvektoren $\begin{eqnarray*} \neq \end{eqnarray*}$ 0 ist.
...

Sorry, das ist Mumpitz. Woher kommt diese Erkenntnis?

mY+

07.03.2011, 16:16

Lucas

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RE: Vektorielle Geometrie
komplett lauten die Bedingungen:
$\begin{eqnarray*} a1\times a2\neq 0 \end{eqnarray*}$
und
$\begin{eqnarray*} \left[a1a2\left(r2-r1\right) \right]\neq 0 \end{eqnarray*}$

ich dachte das war klar.

Lucas

07.03.2011, 19:49

Ösi3000

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Zitat:

Original von Ösi3000

Bei 2 Geraden. Die setze ich gleich um den Schnittpunkt zu bekommen, oder? Weil das n (a kreuz b) dient doch nur zur Bestimmung ob es einen gibt oder nicht. Sehe ich das richtig?

Und bei den Ebenen siehts genauso aus, ne?

Lg

07.03.2011, 22:56

Lucas

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Hallo,

Ja.
Das Gleichsetzen von $\begin{eqnarray*} r1=r2 \end{eqnarray*}$ führt auf ein GLS
aus dem die Lösung für $\begin{eqnarray*} \lambda 1 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \lambda 2 \end{eqnarray*}$ folgt. Beachte die Komponentenschreibweise.
Eingesetzt in $\begin{eqnarray*} r1 \end{eqnarray*}$ bzw. in $\begin{eqnarray*} r2 \end{eqnarray*}$ ergibt sich der Schnittpunkt Ps.

Die Bedingungen für einen Schnittpunkt sind:
$\begin{eqnarray*} a1\times a2\neq 0 \end{eqnarray*}$
und
$\begin{eqnarray*} \left[a1a2\left( r2-r1\right)\right]=0 \end{eqnarray*}$

Gruß Lucas

07.03.2011, 23:16

Lucas

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Hallo Ösi3000,

Bedenke: Die Null beim Kreuzprodukt ist immer der Nullvektor.
Das Wissen darum hatte ich vorher einfach vorausgesetzt.
Das Spatprodukt ist eine reelle Zahl.

Lucas

08.03.2011, 12:39

mYthos

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Zitat:

Geraden sind genau dann windschief, wenn das Kreuzprodukt ihrer Richtungsvektoren $\begin{eqnarray*} \neq \end{eqnarray*}$ 0 ist.

Da kannst du dich nicht herausreden, dies ist und bleibt ein Quark. Überlege einmal, was dieser Satz bedeutet. Nicht einmal mit dem Nullvektor stimmt das.

Zitat:

.. Bedenke: Die Null beim Kreuzprodukt ist immer der Nullvektor. ..

Auch das ist fragwürdig bzw. hat mit dem Kreuzprodukt wenig zu tun. Dazu muss noch der Hintergrund angegeben sein, wann das Kreuzprodukt gleich dem Nullvektor werden kann.

mY+

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