Bildung von Abbildungmatrixen II

06.03.2011, 14:54	schatzimoor	Auf diesen Beitrag antworten »
So jetzt habe ich gleich eine neue Frage zu Abbildungsmatrizen: Aufgabe: Sei $\begin{eqnarray} P_{3} \end{eqnarray}$ der Vektorraum der Polynome mit max. Grad 3. Zeigen Sie, die Abbildung $\begin{eqnarray} F: P_{3} \to P_{3} p \to p^{'} \end{eqnarray}$ ist linear. Bestimmen Sie nun die Abbildungsmatrix von F bezüglich der Monombasis $\begin{eqnarray} b=\left\{x^{3}, x^{2}, x, 1\right\} \end{eqnarray}$ Soweit so gut. Also da ja von $\begin{eqnarray} p \to p^{'} \end{eqnarray}$ abgebildet wird, sind das ja die Ableitungen der jeweiligen Monombasis. Also hier: $\begin{eqnarray} F \left(x^{3} \right) = 3x^{2} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} F \left(x^{2} \right) = 2x \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} F \left(x \right) = 1 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} F \left(1 \right) = 0 \end{eqnarray}$ so was ich jetzt nicht ganz kapiere: Ist die Abbildungsmatrix die Matrix die aus $\begin{eqnarray} F \left(p \right) \end{eqnarray}$ , $\begin{eqnarray} F \left(p^{'} \right) \end{eqnarray}$ macht?
06.03.2011, 15:05	Ibn Batuta	Auf diesen Beitrag antworten »
Erstmal solltest du paar Fragen (für dich selbst) zum besseren Verständnis der Sache klären... Wie schaut ein allgemeines Polynom mit maximalem Grad 3 aus? Was bedeutet F(1)? Hast du schon gezeigt, daß diese Abbildung linear ist? Ibn Batuta
07.03.2011, 13:47	schatzimoor	Auf diesen Beitrag antworten »
Also bei der Überprüfung auf Linearität habe ich folgendes Problem Also für Lineare Abbildungen gilt ja: F(x+y) = F(x) + F(y) Da setzte ich dann für x x+y ein: $\begin{eqnarray} F\left(ax^{3} + bx^{2} + cx +d \right) = 3ax^{2} + bx + c \end{eqnarray}$ Einsetzten: $\begin{eqnarray} F\left(a\left(x+b\right)^{3} + b\left(x+y\right)^{2} + c\left(x+y\right) +d \right) = 3a\left(x+y\right)^{2} + b\left(x+y\right) + c \end{eqnarray}$ Aber: $\begin{eqnarray} 3a\left(x+y\right)^{2} + b\left(x+y\right) + c \neq \left(3ax^{2} + 2bx + c\right) + \left(3ay^{2} + 2by + c\right) \end{eqnarray}$ , oder? Also wäre diese Abbildung nichtlinear, oder? Oder haperst wieder mal an den grundrechenarten? Also muss Abbildungsmatrix = A finden, die die gebene Funktionen auf die Monombasis abbildet: Sowas in der Art: $\begin{eqnarray} \left(x^{3} x^{2} x 1 \right)\begin{pmatrix} 0 & 0 & 0 & 0 \\ 3 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 2 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 3x^{2} \\ 2x \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ ganz links zwischen x und 1 soll ne leerstelle sein... Nur wie mache ich die im Latex-Code Wahrscheinlich habe ich einiges falsch gemacht, aber könntet ihr mir sagen, ob ich so die aufgabe richtig bearbeitet habe???
07.03.2011, 14:12	Ibn Batuta	Auf diesen Beitrag antworten »
Die Linearität kannst du so nicht zeigen. Fang so an: Für alle $\begin{eqnarray} p,q\in\mathbb{R}[x]_{\le 3} \end{eqnarray}$ gilt: $\begin{eqnarray} F(p+q)=[...] \end{eqnarray}$ Die Abbildungsmatrix habe ich nicht nachgerechnet, vorteilhaft wäre es, wenn du die einzelnen Schritte aufschreibst. $\begin{eqnarray} F(1)=[...]=[...] \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} F(X)=[...]=[...] \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \cdots \end{eqnarray}$ Ibn Batuta

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