Vektoralgebra im Dreieck seitenhalbierende

06.03.2011, 17:51

Logitex

Vektoralgebra im Dreieck seitenhalbierende

Meine Frage:
Zeigen sie dass sich die seitenhalbierende eines Dreiecks ABC im Punkt S schneiden und zwar im verhältnis 2:1
Vektoren:
AB=c
BC=a
CA=b

Meine Ideen:
So hab nun zwei Gleichungen aufgestellt:
1/2c+ x*(1/2c +a)-y*(1/2a +c)=0
und
c + 1/2a +x*(1/2a +b)-y*(c+ 1/2a)=0

jetzt hab ich einfach die Koeffizienten das heisst ich hab mir die Vektoren bezeichnungen weg gedacht und nurdie Zahlen genommen von den Vektoren und nach x und Y aufgelöst.(darf ich das? wenn ja wieso?)

-> (1/2)+3/2*x-3/2*y=0
-> (3/2)+3/2*x-3/2*y=0

x=y-1/3 -> eingesetzt in 2. Gleichung
y=2/3

06.03.2011, 18:32

Logitex

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Zweiter Lösungsweg mit dem Strahlensatz ist mir auch klar, aber man sollte es mit Vektoralgebra lösen

06.03.2011, 20:03

Bjoern1982

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Zitat:

So hab nun zwei Gleichungen aufgestellt:

Hier fängt es schon an, denn warum gerade zwei ?
Die erste reicht schon und diese musst du nun in die Form $\begin{eqnarray*} s \cdot \vec{a} +t \cdot \vec{c} =\vec{0} \end{eqnarray*}$ bringen und dann ausnutzen, dass $\begin{eqnarray*} \vec{a} \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \vec{c} \end{eqnarray*}$ linear unabhängig sind.

07.03.2011, 11:10

Logitex

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ich brauch doch zwei gleichungen bei zwei unbekannte?
dann krieg ich etwa sowas verwirrt

(1/2x-y)*c+(x+1/2y)*a=1/2c
?

07.03.2011, 11:35

Logitex

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und a und c sind doch linear abhängig? ich kann ja c als linear kombination von a und b darstellen? daher linear abhängig?

07.03.2011, 12:47

Logitex

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hab nun:
(1/2+x/2-y)c+(x-y/2)a=0
und
(1-x-y)c+(1/2-x/2-y/2)a=0

und da Linearunabhängigkeit besteht:
Definition: a1 und a2 und an sind vektoren
x*a1+y*a2+n*an=0
da dann nur die Koeffizienten interessieren kann ich das a1 bzw. c und a2 bzw. a weglassen und die gleichung auflösen`?
stimmt das?

07.03.2011, 12:51

Bjoern1982

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Zitat:

ich brauch doch zwei gleichungen bei zwei unbekannte?

Du hast ja durch die Vektoren (welche du eben nicht so wie oben einfach weglassen kannst) sogar noch mehr an Unbekannten.
Und das wird dich nicht zur Lösung führen.

Zitat:

dann krieg ich etwa sowas (1/2x-y)*c+(x+1/2y)*a=1/2c

Da sind noch Vorzeichenfehler, schreiben wir es nochmal sauber auf:

$\begin{eqnarray*} (x-\frac{1}{2} \cdot y) \cdot \vec{a}+(\frac{1}{2} \cdot x -y+\frac{1}{2}) \cdot \vec{c}=\vec{0} \end{eqnarray*}$

Zitat:

ich kann ja c als linear kombination von a und b darstellen?

Das stimmt zwar, aber der Vektor b spielt ja für die lineare (Un)Abhängigkeit von a und c keine Rolle.
Die Frage ist ob du a durch c (oder umgekehrt) ausdrücken kannst.

07.03.2011, 13:06

Logitex

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ah und jetzt kann ich aus der gleichung, 2 gleichungen herleiten.
weil bei linearunabhängige vektoren
x*a1+y*a2+n*an=0
x=y=n=0

das heisst

x-1/2*y=0
1/2*x-y+1/2=0

und krieg dann x=1/3
y=2/3

07.03.2011, 13:09

Bjoern1982

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