Konvexgeometrie - Oloid

06.03.2011, 17:59	Current	Auf diesen Beitrag antworten »
Konvexgeometrie - Oloid Hallo! Es geht darum die Seiten eines Oloiden zu bestimmen - ein Oloid ist die konvexe Hülle zweier Kreise in $\begin{eqnarray} \mathbb{R}^3 \end{eqnarray}$ , welche in orthogonalen Ebenen so liegen, dass jeder der beiden Kreise den Mittelpunkt des jeweils anderen Kreises trifft (Auf Wiki gibt es unter dem Eintrag Oloid auch ein Bildchen von dem Ding). Dabei ist eine "Seite" einer abgeschlossenen, konvexen Menge $\begin{eqnarray} K \end{eqnarray}$ definiert als: $\begin{eqnarray} F \end{eqnarray}$ heißt Seite von $\begin{eqnarray} K \end{eqnarray}$ falls $\begin{eqnarray} \forall x,y\in K \end{eqnarray}$ mit $\begin{eqnarray} F\cap relint(xy)\neq \emptyset \end{eqnarray}$ gilt: $\begin{eqnarray} x,y\in F \end{eqnarray}$ (dabei ist $\begin{eqnarray} relint(xy) \end{eqnarray}$ das relative Innere der Strecke zwischen x und y, also das Innere bezüglich der affinen Hülle von x und y). Weiterhin muss $\begin{eqnarray} F \end{eqnarray}$ konvex sein. Und die Dimension einer konvexen Menge $\begin{eqnarray} X \end{eqnarray}$ ist definiert als Dimension von $\begin{eqnarray} aff(X) \end{eqnarray}$ ; der affinen Hülle der Menge. Rein anschaulich ist meine Vermutung, dass die 0-Seiten, also die Ecken, genau die Punkte auf den beiden äußeren Kreisbögen sind. Damit hat das Ding überabzählbar unendlich viele Ecken (begründet damit, dass 0-Seiten ja gerade die Extrempunkte der Menge sind, also jene $\begin{eqnarray} x\in K \end{eqnarray}$ für die $\begin{eqnarray} K\setminus {x} \end{eqnarray}$ konvex ist). Und weiterhin vermute ich, dass der Oloid ebenso unendlich viele Kanten besitzt (nämlich gerade die Strecken, die von den Extrempunkten ausgehen); dass er keine Facetten, also 2-dimensionale Seiten hat und den Oloid selbst natürlich als dreidimensionale Seite. Sind diese Überlegungen/Resultate anschaulich erst einmal richtig so? Danke schonmal für die Mühe
06.03.2011, 20:47	Abakus	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Konvexgeometrie - Oloid Hallo, hier ist der Link: Oleoid (Wiki) Auf den ersten Blick würde ich mir das Gebilde irgendwie rund vorstellen. Ist es das? Grüße Abakus
06.03.2011, 22:39	Current	Auf diesen Beitrag antworten »
Jap, das ist das Teil. Im Artikel steht, dass die "Kanten" die Halbkreise wären und keine Ecken existieren. Nur geht das nicht konform mit der Definition von "Kante"/"Ecke"/"Seite", die mir vorliegt, denn jene Mengen müssen stets konvex sein. Von daher sollten die Punkte, die genau auf den äußeren Halbkreisen liegen, eigentlich Ecken sein. Aber dennoch müssten auch gewöhnliche Kanten existieren, denn das Teil ist ja nicht komplett rund, sondern besteht "stückweise" auch aus Strecken. Also mit den Ecken bin ich mir sehr sicher, ebenso eigentlich mit den Kanten, also 1-Seiten. Ich frage mich nur, ob ich noch irgendwelche Facetten (2-dimensionale Seiten) übersehen habe, doch bin ich nach wie vor der Meinung, dass es keine gibt. Und wie mir gerade auffällt muss im Einleitungspost natürlich bei der Definition von Seite noch dazu, dass $\begin{eqnarray} F\subset K \end{eqnarray}$ ist. Beste Grüße

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