Konvergenzradius

06.03.2011, 18:05

FlashyMo

Konvergenzradius

Hi Leute,
Follgende Aufgabe:

Zitat:

Berechnen Sie die Konvergenzradien, und untersuchen Sie das Verhalten am Rand des Konvergenzintervalls:

$\begin{eqnarray*} \sum\limits_{n=0}^\infty \frac{n^nx^n}{(n+1)^n} \end{eqnarray*}$

Ich hab Folgendes gemacht:

$\begin{eqnarray*} a_{n} = \frac{n^n}{(n+1)^n} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} a = 0 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \frac{1}{r} = \lim_{n \to \infty } \sqrt[n]{|a_{n}| } = 1 \end{eqnarray*}$

Somit ist $\begin{eqnarray*} r = 1 \end{eqnarray*}$ !

Intervall: $\begin{eqnarray*} (-1; 1) \end{eqnarray*}$

Doch was muss ich jetzt noch untersuchen um das Verhalten am Rand des Konvergenzbereiches zu erhalten?

TY! MFG FlashyMo

06.03.2011, 19:00

Ibn Batuta

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Du prüfst, ob die Reihe am Rand des Konvergenzbereichs konvergiert / divergiert.
Tipp: Falls es für x=1 konvergiert, tut es das für x=-1 erst recht. Warum?

Ibn Batuta

06.03.2011, 19:45

FlashyMo

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Zitat:

Original von Ibn Batuta
Du prüfst, ob die Reihe am Rand des Konvergenzbereichs konvergiert / divergiert.
Tipp: Falls es für x=1 konvergiert, tut es das für x=-1 erst recht. Warum?

Ibn Batuta

Danke für die Antwort!

Also ich setzt jetzt für x=1 ein.

$\begin{eqnarray*} \sum\limits_{n=0}^\infty \frac{n^n1^n}{(n+1)^n} \end{eqnarray*}$

Wobei ich 1 ja weglassen kann.

$\begin{eqnarray*} \sum\limits_{n=0}^\infty \frac{n^n}{(n+1)^n} \end{eqnarray*}$

Um die konvergenz/divergenz zu beweisen, muss ich ein kriterium verwenden.
Wurzelkriterium ist hier am besten denk ich mal!

$\begin{eqnarray*} \sum\limits_{n=0}^\infty \frac{n^n}{(n+1)^n} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \sqrt[n]{|\frac{n^n}{(n+1)^n}|} \end{eqnarray*}$ = 1

Also konvergiert das ganze gegen 1...

Stimmts?

06.03.2011, 20:05

Ibn Batuta

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Leider nein, da für $\begin{eqnarray*} \limsup_{n\to\infty}\sqrt[n]{|a_{n}|}= 1 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \sqrt[n]{|a_n|} < 1 \end{eqnarray*}$ für fast alle Indizes $\begin{eqnarray*} n \end{eqnarray*}$ nichts über die Konvergenz der Reihe sich aussagen lässt.

Ibn Batuta

06.03.2011, 20:12

Mystic

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Die Untersuchung von $\begin{eqnarray*} \lim_{n \to \infty} |a_n| \end{eqnarray*}$ bringt unter den gegebenen Umständen mehr...

06.03.2011, 20:32

FlashyMo

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Zitat:

Original von Ibn Batuta
Leider nein, da für $\begin{eqnarray*} \limsup_{n\to\infty}\sqrt[n]{|a_{n}|}= 1 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \sqrt[n]{|a_n|} < 1 \end{eqnarray*}$ für fast alle Indizes $\begin{eqnarray*} n \end{eqnarray*}$ nichts über die Konvergenz der Reihe sich aussagen lässt.

Ibn Batuta

Zitat:

Original von Mystic
Die Untersuchung von $\begin{eqnarray*} \lim_{n \to \infty} |a_n| \end{eqnarray*}$ bringt unter den gegebenen Umständen mehr...

Danke für die Antworten...

Aber ich werd echt nicht schlauer....
Wie soll ichs den lösen?

06.03.2011, 20:36

Ibn Batuta

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Beachte doch den Tipp von Mystic. Das bringt dich weiter.

Ibn Batuta

06.03.2011, 20:42

FlashyMo

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Zitat:

Original von Ibn Batuta
Beachte doch den Tipp von Mystic. Das bringt dich weiter.

Ibn Batuta

$\begin{eqnarray*} \lim_{n \to \infty } a_{n} = \lim_{n \to \infty } \frac{n^n}{(n+1)^n} = \lim_{n \to \infty }[\frac{n}{(n+1)}]^n = \lim_{n \to \infty } (\frac{1}{(1+\frac{1}{n})})^n = 1 ^\infty \end{eqnarray*}$

Was hab ich jetzt?!

06.03.2011, 20:46

Ibn Batuta

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Böses Foul.

Das ist nicht der Grenzwert... Was ist der Grenzwert von $\begin{eqnarray*} \lim_{n\to\infty} \left( 1+\frac 1 n \right)^n \end{eqnarray*}$ ?

Ibn Batuta

06.03.2011, 20:57

FlashyMo

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Zitat:

Original von Ibn Batuta
Böses Foul.

Das ist nicht der Grenzwert... Was ist der Grenzwert von $\begin{eqnarray*} \lim_{n\to\infty} \left( 1+\frac 1 n \right)^n \end{eqnarray*}$ ?

Ibn Batuta

AHHH!!!
Das war wirklich schlecht!!!
Danke fürs sagen = $\begin{eqnarray*} e^1 \end{eqnarray*}$

Und was hab ich jetzt? Das es konvergiert oda?

06.03.2011, 21:15

Ibn Batuta

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Nicht so schnell...

$\begin{eqnarray*} \lim_{n \to \infty } a_{n} = \lim_{n \to \infty } \frac{n^n}{(n+1)^n} = \lim_{n \to \infty }\left(\frac{n}{n+1}\right)^n=\lim_{n \to \infty} \left( \frac{1}{1 + \frac 1 n} \right)^n=\lim_{n\to\infty} \frac{1}{\left( 1+\frac 1 n \right)^n}=\frac 1 e \end{eqnarray*}$

Du könntest nun das Quotientenkriterium anwenden.

Ibn Batuta

06.03.2011, 21:22

FlashyMo

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Zitat:

Original von Ibn Batuta
Nicht so schnell...

$\begin{eqnarray*} \lim_{n \to \infty } a_{n} = \lim_{n \to \infty } \frac{n^n}{(n+1)^n} = \lim_{n \to \infty }\left(\frac{n}{n+1}\right)^n=\lim_{n \to \infty} \left( \frac{1}{1 + \frac 1 n} \right)^n=\lim_{n\to\infty} \frac{1}{\left( 1+\frac 1 n \right)^n}=\frac 1 e \end{eqnarray*}$

Damit ist das notwendige Kriterium, daß es konvergieren könnte allerdings gezeigt... Hinreichend ist das noch nicht.. Du könntest nun das Quotientenkriterium anwenden.

Ibn Batuta

Stimmt danke für den Hinweis!
Abe rich versteh nicht wieso es nicht Ausreichend ist? Und Wieso soll ich jetzt och das QUotientenkriterium anwenden?
TY!

06.03.2011, 21:27

Ibn Batuta

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Betrachte mal die harmonische Reihe:

$\begin{eqnarray*} \sum_{n=1}^\infty \frac 1 n \end{eqnarray*}$

Sei $\begin{eqnarray*} a_n:=\frac 1 n \end{eqnarray*}$ , dann ist $\begin{eqnarray*} \lim_{n\to\infty} a_n=\lim_{n\to\infty} \frac 1 n=0 \end{eqnarray*}$

Die notwendige Voraussetzung, daß die Folge eine Nullfolge ist, ist erfüllt, aber diese Reihe ist bekanntlich divergent.

Mein Tipp von vorhin das Quotientenkriterium heranzuziehen war als zusätzlicher Tipp zu verstehen. Du kannst aus dem Grenzwert $\begin{eqnarray*} \frac 1 e \end{eqnarray*}$ schon schließen, daß diese Reihe divergiert. Warum?

Ibn Batuta

06.03.2011, 21:42

FlashyMo

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Zitat:

Original von Ibn Batuta
Betrachte mal die harmonische Reihe:

$\begin{eqnarray*} \sum_{n=1}^\infty \frac 1 n \end{eqnarray*}$

Sei $\begin{eqnarray*} a_n:=\frac 1 n \end{eqnarray*}$ , dann ist $\begin{eqnarray*} \lim_{n\to\infty} a_n=\lim_{n\to\infty} \frac 1 n=0 \end{eqnarray*}$

Die notwendige Voraussetzung, daß die Folge eine Nullfolge ist, ist erfüllt, aber diese Reihe ist bekanntlich divergent.

Mein Tipp von vorhin das Quotientenkriterium heranzuziehen war als zusätzlicher Tipp zu verstehen. Du kannst aus dem Grenzwert $\begin{eqnarray*} \frac 1 e \end{eqnarray*}$ schon schließen, daß diese Reihe divergiert. Warum?

Ibn Batuta

Wenn ich das QUotientnkriterium anwend komm ich folgendes:

$\begin{eqnarray*} [(n+1)^n(n+1)(n+1)^n]/[(n+2)(n+2)n^n] \end{eqnarray*}$

Aber leider habe ich keine Ahnung was ich machen soll...
Irgendwie steh ich auf der Leitung!

06.03.2011, 21:54

Ibn Batuta

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Quotientenkriterium...

$\begin{eqnarray*} \lim_{n\to\infty} \left | \frac{a_{n+1}}{a_n}\right | = \lim_{n\to\infty} \left| \frac{1}{\left( 1+\frac 1 {n+1} \right)^{n+1}} \cdot \frac{\left( 1+\frac 1 n \right)^n}{1} \right | = ? \end{eqnarray*}$

Was ist hier der Grenzwert? Was kann man daraus folgern?

Es ginge aber auch schon eher, daß man die Divergenz zeigen kann: $\begin{eqnarray*} \lim_{n\to\infty} |a_n|=\frac 1 e \end{eqnarray*}$ Warum?

Ibn Batuta

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