Graph läuft symmetrisch zur Y-Achse?

06.03.2011, 21:55	bucjac	Auf diesen Beitrag antworten »
Graph läuft symmetrisch zur Y-Achse? Meine Frage: Folgende Aufgabe: Von einem Graphen einer Polynomfunktion 4. Grades $\begin{eqnarray} y=ax^4 + bx^3 + cx^2 + dx + e \end{eqnarray}$ sind folgende Eigenschaften bekannt: Der Graph verläuft symmetrisch zur y-Achse und besitzt 0 und 2 als Schnittstellen mit der x-Achse. P(4/12) ist ein Punkt des Graphen. Wie lautet die Funktionsgleichung? Meine Ideen: Ich habe folgende Bedingungen zu der obigen Angabe aufgestellt: I: $\begin{eqnarray} a4^4 + b4^3 + c4^2 + d4 + e = 12 \end{eqnarray}$ II: $\begin{eqnarray} a-4^4 + b-4^3 + c-4^2 + d-4 + e = 12 \end{eqnarray}$ (gerade Funktion) III: $\begin{eqnarray} a0 + b0 + c0 + d0 + e = 0 \end{eqnarray}$ IV: $\begin{eqnarray} a2^4 + b2^3 + c2^2 + d2 + e \end{eqnarray}$ Ich komme jedoch nicht auf die 5. Bedingung :X In der Lösung haben sie es so gelöst: Symmetrisch zur y-Achse: $\begin{eqnarray} b = d = 0 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} a0 + c0 + e = 0 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} a2^4 + c2^2 + e = 0 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} a4^4 + c4^2 + e = 12 \end{eqnarray}$ Was ich an der Lösung nicht verstehe: Wieso ist b = d = 0? Wie können die das aus der Angabe, dass die Funktion gerade (Symmetrisch zur Y-Achse) ist herauslesen? MfG Jakob
06.03.2011, 22:19	schultz	Auf diesen Beitrag antworten »
für gerade funktionen gilt f(x)=f(-x). wenn du das mal in deine allgemeine gleichung einsetzt, siehst du dass b und d null sein müssen
06.03.2011, 22:23	mYthos	Auf diesen Beitrag antworten »
Dein Ansatz ist in dieser Form zu umständlich, ich habe auch nicht nachgesehen, ob das überhaupt richtig ist, weil es einfacher geht: Bei y- achsensymmetrischen Funktionen sind die Koeffizienten der ungeradzahligen x-Glieder gleich Null, also kannst du von vornherein setzen: b = 0; d = 0 Für die restlichen 3 Parameter a, c, e erzeugst du mittels der drei Punkte (0; 0), (2; 0) und (4; 12) die drei dafür benötigten Gleichungen, wobei jene für e besonders einfach ist. Wie lauten diese nun? mY+
06.03.2011, 22:54	bucjac	Auf diesen Beitrag antworten »
@schultz Ach ich Dummkopf! $\begin{eqnarray} f(x) = f(-x) \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} ax^4 + bx^3 + cx^2 + dx + e = a(-x)^4 + b(-x)^3 + c(-x)^2 + d(-x) + e \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} bx^3 + dx = -bx^3 - dx \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} 2x(bx^2 + d) = 0 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} bx^2 + d = 0 \end{eqnarray}$ => Also muss b + d = 0 sein Das war doch so gemeint von dir? @mYthos $\begin{eqnarray} b = d = 0 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} e = 0 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} a2^4 + c2^2 + e = 0 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} a4^4 + c4^2 + e = 12 \end{eqnarray}$ Danke euch beiden, habt mir sehr geholfen! MfG

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