Beweis Teilmenge Komplement

06.03.2011, 23:51

Walter Subject

Beweis Teilmenge Komplement

Meine Frage:
Hallo. Ich soll zeigen dass für zwei Mengen A und B aus
$\begin{eqnarray*} A\subset B \end{eqnarray*}$ die Bezeiehung $\begin{eqnarray*} Komplement B\subset Komplement A \end{eqnarray*}$ folgt.
Kann mir jemand sagen wie man Komplement bei latex eingibt? Ich weiß leider nicht wie ich das angehen soll. Ist die Beziehung um die es hier geht eine Implikation?

Meine Ideen:
Also es gilt ja $\begin{eqnarray*} A\subset B= \left\{x|x\in A\wedge x\in B\right\} \end{eqnarray*}$ . Bei einer echten Teilmenge muss ausserdem | A |< | B | gelten. Aber keine Ahnung wie ich das mit dem Komplement jetzt beweisen soll. Ich weiß einfach nicht wie ich mit den Mengenbeschreibungen einen Beweis führen soll. Oder muss ich da was mit Schnitt bzw Vereinigungsmenge machen?

06.03.2011, 23:59

Ibn Batuta

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$\begin{eqnarray*} A\subseteq B \Leftrightarrow B^C\subseteq A^C \end{eqnarray*}$

Du kannst ja so anfangen:

$\begin{eqnarray*} A\subseteq B \Leftrightarrow (x \in A \Rightarrow x \in B) \end{eqnarray*}$

Nun kannst du dir überlegen, was passiert, wenn $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ nicht aus $\begin{eqnarray*} B \end{eqnarray*}$ ist.

Ibn Batuta

07.03.2011, 13:34

Walter Subject

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Mein Problem ist, dass ich nicht weiß wie man so etwas formal logisch schreibt und was ich da dann mache. Also wenn ich sage $\begin{eqnarray*} x\notin{B} \end{eqnarray*}$ dann ist
$\begin{eqnarray*} x\in{B^C} \end{eqnarray*}$ und wenn $\begin{eqnarray*} x\in{A} \end{eqnarray*}$ dann ist
$\begin{eqnarray*} x\notin{A^C} \end{eqnarray*}$ . Und das ist dann ein Widerspruch zu $\begin{eqnarray*} A\subset B \end{eqnarray*}$ . Ist das ungefähr richtig. Ich weiß einfach nicht was da jetzt Vorraussetzung und Behauptung ist und was ich negieren muss um ein schlüssigen Beweis zu führen. Also was mache ich Aussagenlogisch bei diesem Widerspruchsbeweis? Ich verstehe die Struktur dahinter nicht so ganz.

07.03.2011, 18:20

Walter Subject

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Reicht eine Kontraposition. Also eine Implikation von A nach B ist äquivalent zur umgekehrten Implikation der Negationen von A und B. Also:
$\begin{eqnarray*} \forall {x} \left(x\in {A}\Rightarrow x\in {B}\right)\Leftrightarrow \forall{x} \left(x\notin{B} \Rightarrow x\notin{A} \right) \end{eqnarray*}$ . Reicht das formal logisch als Beweis? Obwohl diese Aussage ja nichts anderes ist als das was ich zeigen soll nur anders ausgedrückt...

07.03.2011, 18:24

Ibn Batuta

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Setze an:

$\begin{eqnarray*} A\subseteq B \Leftrightarrow (x \in A \Rightarrow x \in B) \Leftrightarrow (x \ne B \Rightarrow x \ne A) \Leftrightarrow [...] \end{eqnarray*}$

Was kommt für $\begin{eqnarray*} [...] \end{eqnarray*}$ ? Dann bist du fertig.

Ibn Batuta

07.03.2011, 20:05

Walter Subject

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$\begin{eqnarray*} B^C\subseteq A^C \end{eqnarray*}$
Stimmt das?

07.03.2011, 20:14

Ibn Batuta

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Da fehlt aber ein wichtiger Schritt dazwischen. Welcher? Wenn $\begin{eqnarray*} x\ne B \end{eqnarray*}$ ist, was bedeutet das?

Ibn Batuta

08.03.2011, 13:33

Walter Subject

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Jetzt bin ich irgendwie verwirrt. x ungleich B ergibt doch keinen Sinn, weil x ein Element ist und B eine Menge.

08.03.2011, 13:44

Mystic

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Zitat:

Original von Walter Subject
Jetzt bin ich irgendwie verwirrt. x ungleich B ergibt doch keinen Sinn, weil x ein Element ist und B eine Menge.

Ja, das gilt natürlich nur mutatis mutandis (genauer: $\begin{eqnarray*} \neq \end{eqnarray*}$ muss durch $\begin{eqnarray*} \notin \end{eqnarray*}$ ersetzt werden)... Big Laugh

Edit: Übrigens hast du mit dem, was du oben geschrieben hast, vollkommen recht: Der zu beweisende Sachverhalt ist logisch äquivalent mit dem Kontrapositionsgesetz.... Wenn du also letzteres als gegeben annimmst (oder mit Hilfe einer Wahrheitstafel beweist), ist damit alles gezeigt...

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