Rang (A*B)

07.03.2011, 15:21	nzuri	Auf diesen Beitrag antworten »
*Rang (AB)** Moin. ich habe eine alte Klausuraufgabe, mit folgendem Wortlaut: Es seien A € R(2x3) und B € R(3x2) mit Rang(A)=Rang(B)=2. Dann hat die Matrix AB den Rang 2. Die Lösung befasst sich leider nur mit wahr/falsch. Ich war der Meinung, dass das stimmt, weil ich folgende Formel in den Unterlagen habe: rang(AB)<=min(rang(A),rang(B) und (A*B) € R(2x2) jetzt weiß ich nicht, warum die antwort "Falsch" ist, liegt es daran, dass der Rang auch =1 sein kann, oder gibt es einen bestimmten Grund? größer als 2 kann er ja wohl eher nicht sein ^^. lg felix
07.03.2011, 15:24	Iorek	Auf diesen Beitrag antworten »
Ja, es gibt Matrizen A, B die die geforderten Bedingungen erfüllen und das Produkt der Matrizen nur den Rang 1 hat.
07.03.2011, 15:27	nzuri	Auf diesen Beitrag antworten »
schon klar das meinte ich ja. also ist die antwort falsch, weil sie nicht "vollständig" ist, bzw. weil ich das mit den gegebenen Informationen nicht genau sagen kann? danke
07.03.2011, 15:30	Iorek	Auf diesen Beitrag antworten »
Ja, nur aus der Bedingung $\begin{eqnarray} \operatorname{rang}(A)=\operatorname{rang}(B)=2 \end{eqnarray}$ kann man nicht direkt $\begin{eqnarray} \operatorname{rang}(A\cdot B)=2 \end{eqnarray}$ folgern.
07.03.2011, 15:35	lgrizu	Auf diesen Beitrag antworten »
Ein simples Gegenbeispiel ist auch schnell gefunden: $\begin{eqnarray} A=\begin{pmatrix}0&1&0 \\ 1&0&0 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ , $\begin{eqnarray} B=\begin{pmatrix}0&0 \\ 0 & 1 \\1 & 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} A \cdot B=\begin{pmatrix}0&1 \\ 0 & 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$

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