Referat zum Thema ,,Zentraler Grenzwertsatz"

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stealth_mx Auf diesen Beitrag antworten »
Referat zum Thema ,,Zentraler Grenzwertsatz"
Hallo zusammen, muss ein Referat zum Thema zentraler Grenzwertsatz halten, leider hab ich nicht ganz verstanden was er aussagt. Kann mir das jemand erklären.

Im Buch ist das ziemlich komisch erklärt mit Zufallsvariablen(Was mir ebenfalls nicht ganz einleuchtet).

ps. Ein einfaches Beispiel wäre schön.
Zündholz Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Referat zum Thema ,,Zentraler Grenzwertsatz"
Hallo,
Also beispielsweise hast du einen Menschen der etwas betrunken ist. Dieser soll eigentlich nur nach links oder nach rechts torkeln. Er macht also entweder einen Schritt nach links oder einen Schritt nach rechts, und das mit der Warscheinlichkeit 1/2. Ich nenne jetzt mal den ersten Schritt den zweiten usw. (das sind Zufallsvariablen). Dabei soll andeuten, dass er nach links läuft und , dass er nach rechts läuft.
Das heißt der Typ läuft mit gleicher Schrittweite nach links oder nach rechts (zu einer gewissen Zeit) und bleibt nicht stehen.

So, sein Haus liegt jetzt ca. 100 Schritte nach rechts. Die Frage ist also wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit, dass er irgendwann in seinem Bett landet, wenn er n Schritte getan hat.
Oder mit anderen Worten wie hoch ist .
Dabei ist die Summe ja Sinnvoll, denn immer wenn er einen Schritt nach links macht (-1) muss er ja wieder einen Schritt nach rechts machen (+1) um das auszugleichen.

So und hier sind wir fast in der Situation des zentralen Grenzwertsatzes. Als nächstes muss man einen kleinen Anschaulichen Wechsel durchführen. Wir wollen nun nicht, dass diese "Irrfahrt" (so nennt man obiges Beispiel) irgendwie gestreut ist. Sondern wir wollen zunächst, dass der Mensch in der Null (deshalb zieht man den Mittelwert ) - in dem Fall vielleicht dem Wirtshaus - startet, und wir wollen, dass in gewisser weise die Schritte immer kleiner werden, sodass er nicht zu weit weg torkelt, wir also sein Verhalten besser kontrolieren können (deshalb teilen wir zum einen durch und zum anderen durch die Streuung ums Wirtshaus ).
Damit sind wir in der Situation des zentralen Grenzwertsatzes und dieser sagt uns, dass die Verteilung der so umskalierte Größe:



wenn man immer mehr Schritte anschaut gegen die Standartnormalverteilung konvergiert.

Man fragt sich also wie die Summen von unabhängigen identisch verteilten Zufallsvariablen verteilt ist. Und eine Antwort gibt der zentrale Grenzwertsatz:
Unter gewissen Umskalierungen/Standartisierungen ist die Summe Standartnormalverteilt.


So ich hoffe das Beispiel passt und dass ich es richtig erklärt habe (vielleicht kann sich das jemand anderes mal noch durchlesen und sein ok geben).

Schöne Grüße
Zündholz

P.S. stealth_mx warte mal ab ob das jemand anders auch so sieht, nicht das du dir was falsches einprägst bzw. ich hier grad totalen schmarn geredet habe.
 
 
Mystic Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Referat zum Thema ,,Zentraler Grenzwertsatz"
Zitat:
Original von Zündholz
P.S. stealth_mx warte mal ab ob das jemand anders auch so sieht, nicht das du dir was falsches einprägst bzw. ich hier grad totalen schmarn geredet habe.

Ich würde als Testgröße lieber den äquivalenten Ausdruck



verwenden und dann vielleicht auch überall Standard statt Standart schreiben, ansonsten wird deine Fassung aber von mir approbiert und freigegeben... Big Laugh
Zündholz Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Referat zum Thema ,,Zentraler Grenzwertsatz"
Zitat:
Original von Mystic
Standard statt Standart


Ach man ich dachte ich habs mittlerweile drauf... Augenzwinkern
stealth_mx Auf diesen Beitrag antworten »

Die Kernaussage sagt also aus, wenn ich die Summen von den Zufallswerten addiere, dann führt dieses häufig zur Normalverteilung, die kann man dann standardisieren sprich auf der X-Achse verschieben?

Nochmal zur Zufallsvariable, in deinem Beispiel kann sie entweder -1 oder 1 sein richtig?

Und was genau sagt diese Gleichung:



Mir ist nicht ganz verständlich wann diese Gleichung zum Einsatz kommt.


mfg
Zündholz Auf diesen Beitrag antworten »

Betrachte nochmal



Zitat:
Original von stealth_mx
Die Kernaussage sagt also aus, wenn ich die Summen von den Zufallswerten addiere, dann führt dieses häufig zur Normalverteilung, die kann man dann standardisieren sprich auf der X-Achse verschieben?


und noch durch das andere Zeug teilst (vgl oben) das gehört auch noch zur standardisierung da du quasi das ganze Objekt zusammenstauchst.
Also ist die Aussage wenn du dir die Summe von diesen zufallsvariablen anschaust und geeignet standartisiert dann sind die für große n (genauer der Limes) standartnormalverteilt (immer).

Ums mal noch etwas genauer zu sagen:
Die Kernaussage ist eigentlich wenn du das obige Objekt betrachtest wobei eben diese X Zufallsvariablen (unabhängig identisch verteilt) sind die können auch ganz anders aussehen dann gilt



dabei bezeichnet die Verteilungsfunktion der Standartnormalverteilung.

Zitat:
Original von stealth_mx
Nochmal zur Zufallsvariable, in deinem Beispiel kann sie entweder -1 oder 1 sein richtig?


Das ist richtig, aber wie schon gesagt geht das auch allgemeiner.

Zitat:
Original von stealth_mx
Mir ist nicht ganz verständlich wann diese Gleichung zum Einsatz kommt.


Ich hoffe das ist jetzt klarer?
Schau dir fürs allgemeine Verständnis am besten hier die Bildchen an. Vielleicht hilft das.

Schöne Grüße
stealth_mx Auf diesen Beitrag antworten »

Ich meine das verstanden zu haben. Ich habe mich nämlich gefragt was genau der Grenzwert mit der Normalverteilung zu tun hat. Was eine Normalverteilung verstehe ich.

Also wenn man beispielsweise eine Geschäftskette hat und einmal im Monat (n Anzahl) die Erlöse (Zufallsvariablen)einsammelt, sie anschließend summiert und standardisiert kann man sie zu einer Normalverteilung bewegen. Je größer (n) desto besser die Konvergenz gegen die ,,Gausche Glocke". Und die Umskalierung und Standardisierung macht man mit dem Zentralen Grenzwert? Ist meine Annahme richtig?
zweiundvierzig Auf diesen Beitrag antworten »

Ja, genau. smile

Ein kleiner Punkt ist mir noch aufgefallen:
Zitat:
Original von stealth_mx
Je größer (n) desto besser die Konvergenz gegen die ,,Gausche Glocke".

Du meinst das richtige: je größer n, desto besser ist der "Näherungswert". Das ist an der Stelle eine günstigere Formulierung als "bessere Konvergenz".
stealth_mx Auf diesen Beitrag antworten »

Jetzt hab ich da noch eine richtig dämliche Frage, warum heißt es dann ,,ZENTRALER GRENZWERTSATZ" ich werde aus dem Ausdruck nicht schlau Hammer
Zündholz Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von stealth_mx
Und die Umskalierung und Standardisierung macht man mit dem Zentralen Grenzwert? Ist meine Annahme richtig?


Damit man den Zentralen Grenzwertsatz anwenden kann (wäre denk ich besser).

Warum das Zentraler Grenzwertsatz heißt kann ich nur drüber spekulieren. Ich vermute mal, dass das damit Zusammenhängt, dass beliebige Summen egal wie Verteilter Zufallsvariablen gegen die Normalverteilung konvergieren (modulo Standartisierung). D.h. die Normalverteilung ist quasi die natürlichste Verteilung (in gewisser Weise), und damit zentral.
Allerdings ist das wie schon gesagt spekulativ. Vielleicht weiß das jemand besser.

Also schönen Abend noch.
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