Knick im Graphen einer Funktion

07.03.2011, 19:22

Dopap

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Knick im Graphen einer Funktion

Nichtdifferenzierbarkeit ist Schülern , die nur differenzierbare Funkionen-Terme
kennen, nur dadurch zu vermitteln, dass man 2 Teilfunktionen aneinanderhängt. Das Ganze wirkt für Schüler ein wenig künstlich ( ist es auch ),
und macht kaum Laune auf Mehr.
Suche Funktionsterme, die einen Knick ( im Graphen ) haben, evtl auch ein "Loch" an der Knickstelle, ansonsten aber differenzierbar sind.
Irgendwelche Betragsfunktion zählen nicht.

Plan: bisher nicht

07.03.2011, 19:23

Cheftheoretiker

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RE: Knick im Graphen einer Funktion
Ich sag nur Weierstraß! Big Laugh

Big Laugh

Wobei die Funktion ja nicht differenzierbar ist.

07.03.2011, 19:28

Cel

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Ich habe da jetzt spontan an $\begin{eqnarray*} f(x) = x \cdot \sin\left(\frac{1}{x}\right) \end{eqnarray*}$ gedacht. f hat in 0 eine Lücke, die sogar hebbar ist, ist dort aber nicht differenzierbar. Ob das aber für Schüler nicht zu viel ist, selbst in meiner Vorkursgruppe traf das auf Unverständnis. Wie auch immer ...

07.03.2011, 19:30

Leopold

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$\begin{eqnarray*} y = f(x) = \arctan \frac{1}{x} \end{eqnarray*}$

Zu untersuchen für $\begin{eqnarray*} x \to 0 \end{eqnarray*}$ .

07.03.2011, 19:52

Dopap

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Zitat:

Original von Cel
Ich habe da jetzt spontan an $\begin{eqnarray*} f(x) = x \cdot \sin\left(\frac{1}{x}\right) \end{eqnarray*}$ gedacht.

hier verwurstelt sich der Graph im Unsichtbaren.

bei Leopolds $\begin{eqnarray*} \arctan \frac{1}{x} \end{eqnarray*}$

seh ich einen Sprung, keinen Knick.

Alles aus Schülersicht!

07.03.2011, 19:55

Leopold

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Dann integrier das Ding! Dann hast du einen Knick und keinen Sprung! Big Laugh

Big Laugh

Oder multipliziere es einfach mit $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ .

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07.03.2011, 20:11

Dopap

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@Leopold :sehr gut! -Danke -warum nicht gleich so?
Kann es sein, dass du nach 12000 Beiträgen ein wenig gelangweilt bist?

Trotzdem: der arctan ist ein wenig "sperrig"
Weitere Vorschläge?

07.03.2011, 20:23

Leopold

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Mit rationalen oder gar ganzrationalen Funktionen wird dir das nicht gelingen. Einfach aufgrund von deren Eigenschaften: Stetigkeit pflanzt sich bei den rationalen Operationen Addition, Subtraktion, Multiplikation und Division fort. Da aber die Funktionen $\begin{eqnarray*} x \mapsto x \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} x \mapsto c \end{eqnarray*}$ mit konstantem $\begin{eqnarray*} c \end{eqnarray*}$ stetig sind, sind alle rationalen Funktionen stetig, also auch deren Ableitungen, die ja für Knick oder Nicht-Knick zuständig sind.

Du mußt also entweder mit geteilten Definitionen oder mit sperrigen Ausdrücken arbeiten. Oder andere Operationen wie Limesbildung oder Integration einbeziehen:

$\begin{eqnarray*} f(x) = \lim_{n \to \infty} \frac{1}{1 + x^n} \, , \ x \neq -1 \end{eqnarray*}$

als Beispiel für eine unstetige Funktion

07.03.2011, 20:50

Dopap

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o.k das scheidet selbstredend aus.
Die lim-Fkt ist nicht präsentabel, da sicher nicht taschenrechnertauglich.
IDEE: die e-Funktion ist doch gelebter Schulalltag
und wg. einfacher Ableitung und Aufleitung akzeptiert.

geht denn mit der vielleicht was?

07.03.2011, 21:34

Leopold

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Man kann so etwas wie

$\begin{eqnarray*} f(x) = \sqrt{x^2} \end{eqnarray*}$

nehmen, was natürlich nichts anderes als die Betragsfunktion ist. Die Beispiele werden irgendwie mit Umkehrfunktionen von Funktionen, die global nicht umkehrbar sind, und Rückverkettungen arbeiten. Etwas versteckter hier:

$\begin{eqnarray*} f(x) = 4x \cdot \operatorname{e}^{- \left( \frac{1}{x} + \sqrt{1 + \left( \frac{1}{x} \right)^2} \right)} \end{eqnarray*}$

Letztlich liegt es daran, wie wir die Wurzel definieren, daß das gewünschte Phänomen auftritt. Vielleicht wäre es besser, deinen Schülern die abschnittsweise Definition als völlig normale Möglichkeit, Funktionen zu definieren, zu vermitteln statt hier kunstvoll das Eigentliche hinter komplexen Termen zu verstecken.

07.03.2011, 22:09

Dopap

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Zitat:

Original von Leopold
$\begin{eqnarray*} f(x) = 4x \cdot \operatorname{e}^{- \left( \frac{1}{x} + \sqrt{1 + \left( \frac{1}{x} \right)^2} \right)} \end{eqnarray*}$

super Leopold! Ich hab meinen Taschenrechner auf Modus "rigorous" gestellt,
-d.h. er akzeptiert nur Beträge als Radikant -und er liefert die Kurve die mir vorschwebte.

Ich versuch jetzt mal die Idee fortzuführen, den Knick zu erhalten und die Wurzel eventuell noch rauszuschmeissen...

P.S weitere Vorschläge von jedermann sind stets wiilkommen.

07.03.2011, 22:20

Leopold

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Oder das hier?

$\begin{eqnarray*} f(x) = \sqrt{1 + \sin x} \end{eqnarray*}$

07.03.2011, 22:38

Dopap

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auch sehr gut!, und keine Definitionseinschränkungen!
anscheinend hat mein Problem die Geister geweckt, jetzt läuft's wie geschnitten Brot.
Ich such' noch was ohne Wurzel, weil da versteckt der Betrag drin steckt...

07.03.2011, 22:40

Leopold

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Etwa in meinem letzten Beispiel, was nichts anderes als

$\begin{eqnarray*} f(x) = \left| \, \sin \frac{x}{2} + \cos \frac{x}{2} \, \right| \end{eqnarray*}$

ist.

07.03.2011, 23:02

Dopap

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die Ehrlichkeit ehrt dich. keiner hät's gemerkt Augenzwinkern

Augenzwinkern

knoble immer noch an e-Termen...?....!.....?

08.03.2011, 00:45

Dopap

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endlich eine Idee:

$\begin{eqnarray*} f(x)=\frac {x}{1+e^{\frac {1}{x}}}\quad x\in \mathrm R^* \end{eqnarray*}$

ohne Wurzel, stetig ergänzbar in O.!

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