Summenfunktion

07.03.2011, 19:57

Unwissender69

Summenfunktion

Meine Frage:
Ich habe folgende Formel
$\begin{eqnarray*} \sum\limits_{n=1}^x \frac{a}{\left(1+b\right)^{n}}= c \end{eqnarray*}$

wobei a, b und c gegeben sind und x die gesuchte Variable ist
x=?

Meine Ideen:
soweit ich weiß kann ich folgenden Schritt tun:
$\begin{eqnarray*} \sum\limits_{n=1}^x \left(1+b\right)^{-n} = \frac{c}{a} \end{eqnarray*}$

Weiter weiß ich aber leider nicht...

Bitte helft mir!
Vielen vielen Dank schonmal!

07.03.2011, 20:01

René Gruber

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Links steht die Partialsumme einer geometrischen Reihe, dafür gibt es eine geschlossene Summenformel - schau mal nach!

07.03.2011, 20:15

Unwissender69

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Such schon ne ganze Weile, aber leider finde ich keine Lösung, wie ich mit der negativen Potenz umgehen kann...

07.03.2011, 20:19

René Gruber

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Wieder mal jemand, der die Potenzgesetze vergessen hat - oder zumindest nicht weiß, sie anzuwenden:

$\begin{eqnarray*} (1+b)^{-n} = \left( \frac{1}{1+b} \right)^n = q^n \end{eqnarray*}$ ,

wenn man $\begin{eqnarray*} q:=\frac{1}{1+b} \end{eqnarray*}$ setzt.

07.03.2011, 20:26

Unwissender69

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Diese Herleitung ist mir klar, den Schritt habe ich ja oben bereits angewandt.
Aber wie löse ich die Summenfunktion auf???

07.03.2011, 20:31

René Gruber

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Es ist dir offenbar nicht klar, sonst würdest du diese Nachfrage nicht stellen. unglücklich

Wie lautet denn nun die Partialsummenformel der geometrischen Reihe?

07.03.2011, 21:13

Unwissender69

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Ok, wer lange sucht, der findet
$\begin{eqnarray*} \sum\limits_{n=1}^x z^{n} = \frac{z^{x+1}-1 }{z-1} \end{eqnarray*}$

Damit in meinem Fall
$\begin{eqnarray*} \frac{c}{a}= \frac{\left(\frac{1}{1+b}\right)^{x+1}-1 }{\left(\frac{1}{1+b}\right)-1} \end{eqnarray*}$

und dann
$\begin{eqnarray*} \frac{b*c}{a} = 1+b-\left(1+b\right)\left(\frac{1}{1+b} \right)^{x+1} \end{eqnarray*}$

Soweit korrekt?

07.03.2011, 21:16

René Gruber

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Zitat:

Original von Unwissender69
$\begin{eqnarray*} \sum\limits_{n=1}^x z^{n} = \frac{z^{x+1}-1 }{z-1} \end{eqnarray*}$

Das stimmt nicht ganz, tatsächlich ist

$\begin{eqnarray*} \sum\limits_{n=0}^x z^{n} = \frac{z^{x+1}-1 }{z-1} \end{eqnarray*}$

(untere Indexgrenze 0 statt 1), das musst du durch einen zusätzlichen Zwischenschritt kompensieren.

07.03.2011, 21:22

Unwissender69

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Ah stimmt, das hab ich übersehen.
In meinem Fall dennoch korrekt, weil schon oben in meiner Angabe eine 0 statt einer 1 hinkommt.

07.03.2011, 21:29

Unwissender69

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Wenn das dann alles stimmt, bekäme ich nach x aufgelöst
$\begin{eqnarray*} x=\frac{ln\left(1+2b+b^{2}-\frac{b*c}{a}-\frac{b^{2}*c }{a} \right)}{ln\left(\frac{1}{1+b}\right)}-1 \end{eqnarray*}$

Stimmt das?

07.03.2011, 21:51

Unwissender69

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Hmmm, irgendwo muss der Fehlerteufel versteckt sein, aber wo nur?

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