Schnittgerade/ Punkt dreier Ebenen Gauß?

07.03.2011, 21:41	Toma´s	Auf diesen Beitrag antworten »
Schnittgerade/ Punkt dreier Ebenen Gauß? Meine Frage: Hallo, wäre super, wenn Ihr mir bei folgender Aufgabe behilflich sein könntet: Für welche Werte von alpha,beta (Element der reellen Zahlen) schneiden sich die drei gegebenen Ebenen in einer Geraden bzw. in einem Punkt? Geben Sie die Gleichung der Schnittgeraden an. E1: x-y-2z=1 E2: x+y-betaz=2 E3: 2y+z=alpha Meine Ideen: Habe bereits mit dem Verfahren von Gauß bewiesen, dass es unendlich viele Lösungen gibt: 1-1-2 1 0-2 beta-2 -1 0 0 beta-1 alpha-1 --> alpha=beta=1 es gibt unendlich viele Lösungen. Nun zu meiner Frage: Wie bekomme ich die Schnittgerade und den Schnittpunkt? Vielen Dank im Voraus!
08.03.2011, 16:41	Reksilat	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Schnittgerade/ Punkt dreier Ebenen Gauß? Hallo Toma´s, Den Schnittpunkt erhältst Du ganz einfach durch direktes Lösen des Gleichungssystems durch Rückwärtssubstitution. Der Punkt (x,y,z) wird dann eben in Abhängigkeit von $\begin{eqnarray} \alpha \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} \beta \end{eqnarray}$ dargestellt. Für die Gerade hast Du ein Gleichungssystem ohne Parameter da stehen. Die Lösung kannst Du zum Beispiel darstellen, indem Du $\begin{eqnarray} z \end{eqnarray}$ als freien Parameter betrachtest. $\begin{eqnarray} x \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} y \end{eqnarray}$ kannst Du in Abhängigkeit von $\begin{eqnarray} z \end{eqnarray}$ darstellen und dann erhältst Du: $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix}x\\y\\z\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}f_1(z)\\f_2(z)\\z\end{pmatrix} \end{eqnarray}$ Das lässt sich dann leicht in die Form $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix}x\\y\\z\end{pmatrix}=v_1+z\cdot v_2 \end{eqnarray}$ , mit $\begin{eqnarray} v_1,v_2\in\mathbb{R}^3 \end{eqnarray}$ bringen. Gruß, Reksilat.
08.03.2011, 17:11	mYthos	Auf diesen Beitrag antworten »
Bisher stimmt das. Betrachte nun zuerst jenen Fall, in dem $\begin{eqnarray} \alpha \neq 1 \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} \beta \neq 1 \end{eqnarray}$ ist. Stelle x, y, z als Terme in den beiden Parametern dar, mit anderen Worten, berechne das Lösungstripel des lGS. Wieviele Lösungen gibt es da und wie lautet die geometrische Interpretation davon? Im zweiten Fall, also $\begin{eqnarray} \alpha = \beta = 1 \end{eqnarray}$ ist das System abhängig, d.h. die Lösung ist nicht eindeutig, wie du schon erkannt hast. Setze in diesem Falle für die beiden Parameter 1 ein und löse das System damit, indem du eine der Variablen mit einem weiteren Parameter belegst. Die Lösung ist dann - erraten - die gesuchte Schnittgerade. mY+
08.03.2011, 20:02	Toma´s	Auf diesen Beitrag antworten »
Guten Abend, vielen Dank für Ihre bisherige Hilfe. Ich habe versucht anhand Ihrer Lösungsansätze die Aufgabe zu lösen. Leider komme ich nicht auf das gewünschte Ergebnis. Für weitere Hilfestellung wäre ich sehr Dankbar. Hier meine Überlegungen: 1-1-2 1 0-2 beta-2 -1 0 0 beta-1 alpha-1 Ich habe wie von Ihnen geraten für alpha und beta 1 eingesetzt sodass mein LGS wie folgt aussieht: 1 -1 -2 1 0 -2 -1 -1 0 0 0 0 für die Variable z habe ich den Parameter (t) eingeführt daraus ergeben sich folgende Gleichungen: 1x -1y -2t=1 0x-2y -1t=-1 0z=0 --> z=t durch auflösen der Gleichung ergeben sich folgende Werte: -2y= -1 + 1t y= 0.5 -0.5t x= 1,5 +1,5t sind meine Denkansätze richtig? Vielen Dank für Ihre Mühe
08.03.2011, 21:02	mYthos	Auf diesen Beitrag antworten »
Wie ersichtlich, bearbeitest du den Fall 2, den 1. Fall hast du bereits erledigt? Deine Überlegungen sind so weit richtig. Wenn du jetzt die Variablen x und y bereits in t ausgedrückt hast, haben wir mit z = t bereits die zeilenweise Darstellung der gesuchten Geradengleichung in Parameterform. Daraus sind auch schon der Stütz- und der Richtungsvektor abzulesen. Kannst du das jetzt so vollenden? mY+

1

Verwandte Themen

Die Beliebtesten »

Die Größten »

Die Neuesten »